Сублінійний оптимальний наближений алгоритм реоптимізації для задачі про мінімальне вершинне покриття графа

Abstract

За наближеного розв’язання дискретних задач оптимізації виникає така iдея: чи можна, виходячи з інформації про оптимальний розв’язок екземпляра задачі (або близького до нього), використовувати цю інформацію для знаходження оптимального (або близького до нього) розв’язку екземпляра задачі, отриманого в результатi незначних локальних модифiкацiй вихiдного екземпляра. Цей пiдхiд, названий реоптимізацією, дозволяє в деяких випадках отримати кращу якiсть наближення (яке визначається як вiдношення значення наближеного розв’язку до точного i називається вiдношенням апроксимацiї) у локально модифiкованих екземплярах, нiж у вихiдних. Якщо для деяких оптимiзацiйних задач вiдношення апроксимацiї не можна покращити (наприклад, у класi всiх наближених алгоритмiв із полiномiальною складнiстю), то таке вiдношення називають пороговим або оптимальним (алгоритм на якому досягається це вiдношення також називають пороговим або оптимальним). Складність алгоритмів оцінюється кількістю звернень (запитів) до спеціального оракулу. Для реоптимізації задачі про мінімальне вершинне покриття графа (за добавлення однієї вершини і деякої множини ребер) отриманий (3/2)-наближений алгоритм із адитивною помилкою з сублінійною (константною) складністю. Показано, що відношення апроксимації 3/2 є пороговим у класі алгоритмів із константною складністю.

При приближенном решении дискретных задач оптимизации возникает такая идея: можно ли, исходя из информации об оптимальном решении экземпляра задачи (или близкого к нему), использовать эту информацию для нахождения оптимального (или близкого к нему) решения экземпляра задачи, полученного в результате незначительных локальных модификаций исходного экземпляра. Данный подход, названный реоптимизацией, позволяет, например, в некоторых случаях получить лучшее качество приближения (которое определяется как отношение значения приближенного решения к точному и называется отношением аппроксимации) в локально модифицированных экземплярах, чем в исходных. Если для некоторых оптимизационных задач отношение аппроксимации нельзя улучшить (например, в классе всех приближенных алгоритмов с полиномиальной сложностью), то такое отношение называют пороговым или оптимальным (алгоритм на котором достигается это отношение также называют пороговым или оптимальным). Сложность алгоритмов оценивается количеством обращений (запросов) к специальному оракулу. Для реоптимизации задачи о минимальном вершинном покрытии графа (при добавлении одной вершины и некоторого множества ребер) получен (3/2)-приближенный алгоритм с аддитивной ошибкой с сублинейной (константной) сложностью. Показано, что отношение аппроксимации 3/2 является пороговым в классе алгоритмов с константной сложностью.

With the approximate solution of discrete optimization problems such idea arises: is it possible, taking into account the information about the optimal solution of an instance (or close to it), use this information to find the optimal (or close to it) solution of instance problem obtained as a result of minor local modifications of the initial instance. This approach, called reoptimization, allows, for example, in some cases, getting the best quality of approximation (which is defined as the ratio between the value of an approximate solution to the exact ratio and called approximation ratio) in locally modified instances than at initials. If for some tasks approximation ratio can not be improved (e.g. in class of all approximation algorithms with polynomial complexity), the ratio is called the threshold or optimal (algorithm which achieved this ratio is also called the threshold or optimal). The complexity of the algorithms is estimated by the number of hits (queries) to a special oracle. For reoptimization of minimum vertex cover problem (with addition of one vertex and some set of edges) (3/2)-approximation algorithm with additive error and sublinear (constant) complexity is received. It is shown that the approximation ratio of 3/2 is the threshold in the class of algorithms with constant complexity.