Аналог преобразования Громеки в магнитной гидродинамике вращающейся неоднородной жидкости

Abstract

Осуществлен аналог преобразования Громеки в двухпараметрической стационарной задаче магнитной гидродинамики вращающейся неоднородной жидкости. Получены интегралы симметрии и с их помощью задача сведена к одному нелинейному уравнению в частных производных второго порядка, служащему для определения функции тока ψ. Введена модифицированная функция тока F = F(ψ). В результате задача сведена к квазилинейному уравнению в частных производных второго порядка. Это уравнение включает в себя произвольно заданные функции своего аргумента: плотность ρ(F), аналог функции Бернулли Wem(F), третью компоненту обобщенного импульса единицы массы жидкости q(F), магнитный A(F) и электрический Φe(F) потенциал. Произвол в выборе зависимостей ρ(F), Wem(F), q(F), A(F) и Φe(F) может быть использован для аппроксимации реальных параметров среды. При определенном задании этих зависимостей уравнение для модифицированной функции тока становится линейным, что предоставляет существенные преимущества в решении краевых задач. Рассмотрены волны конечной амплитуды в замагниченном вращающемся цилиндрическом слое однородной жидкости.

Здiйснен аналог перетворення Громекi в двопараметрiчнiй стацiонарнiй задачi магнiтної гiдродинамiки неоднорiдної рiдини, що обертається. Отриманi iнтеграли симетрiї i за їхньою допомогою задача зведена до одного нелiнiйного рiвняння в часткових похiдних другого порядку, що служить для визначення функцiї току ψ. Впроваджена модифiкована функцiя току F = F(ψ). В результатi задача зведена до квазiлiнiйного рiвняння в часткових похiдних другого порядку. Це рiвняння включає в собi довiльно заданi функцiї свого аргумента: густину ρ(F), аналог функцiї Бернулi Wem(F), третю компоненту узагальненого iмпульса одиницi маси рiдини q(F), магнiтний A(F) i електричний Φe(F) потенцiал. Довiльнiсть у виборi залежностей ρ(F), Wem(F), q(F), A(F) i Φe(F) може бути використана для апроксимацiї реальних параметрiв середовища. При певному завданнi цих залежностей рiвняння для модифiкованої функцiї тока стає лiнiйним, що дає iстотнi переваги в рiшеннi краевих задач. Розглянутi хвилi скiнченної амплiтуди в замагнiченому цилiндричному шарi однорiдної рiдини, що обертається.

The analogue of Gromeka's transformation in the two - dimensional stationary problem of magnetohydrodynamics of nonhomogeneous rotational liquid is realized. The integrals of symmetry are obtained,and using their help the problem is reduced to a single non-linear equation in partial derivatives of the second order, serving for the definition of the current function ψ. Modified current function F = F(ψ) is introduced. As a result the problem is reduced to quasilinear equation in partial derivatives of the second order. This equation involves arbitrary functions of its argument: density ρ(F), analogue of Bernoulli function Wem(F), 3 - component of the generalized impulse of liquid unit mass q(F), magnetic potential A(F) and electric potential Φe(F). Arbitrariness in choosing of dependencies ρ(F), Wem(F), q(F), A(F) and Φe(F) can be used for the approximation of the real parameters of continuum. At a certain assignment of these dependencies the equation for the modified current function becomes linear, what shows substantial advantages in a solving of a boundary problems. The waves of finite amplitude in magnetic rotational cylindrical layer of homogenous fluid are considered.