Диффузия вихря в слое устойчиво стратифицированной жидкости

Abstract

Статья содержит аналитическое pешение задачи турбулентной диффузии квазигоризонтального изолированного осесимметpичного вихpя. Квазигоризонтальность обуславливает малость вертикальной компоненты скорости, а медленное изменение во времени - малость радиальной компоненты. Случаи, где это предположение нарушается, оговариваются в разделе о вторичных течениях. На основании сделанных допущений задача сводится к одному линейному уравнению диффузии для вертикальной компоненты завихренности с различными вертикальной и горизонтальной диффузией. Вертикальная диффузия полагается приближенно постоянной [1], что типично только для устойчивой стратифицикации. Горизонтальная диффузия вычисляется по закону"четырех третей" Ричардсона, приближенно выполняющемуся для горизонтальных масштабов вихрей в диапазоне 10-1000 м [2, 3]. Гpаничные условия задачи стандартные. Граничные условия на свободной поверхности можно формулировать на поверхности невозмущенного слоя жидкости, так как показано, что величина искривления свободной поверхности мала по сравнению с глубиной слоя. Для моделирования начального распределения завихренности, по вертикальной координате используется специальное распределение, которое позволяет строго удовлетворить граничные условия и задавать в начальный момент вихрь различной толщины и расположения. По радиальной координате используется распределение в виде изолированного гауссиана [4-6]. Полное решение линейной задачи позволяет выделить процесс горизонтальной диффузии, для которого найдено автомодельное решение. Оно, для данного радиального распределения, соответствует условию сохранения третьего момента завихренности. Показано, что линейная модель справедлива, если число Фруда значительно меньше 1.

Стаття мiстить аналiтичний розв'язок задачi турбулентної дифузiї квазiгоризонтального iзольованого вiсесиметричного вихора. Квазiгоризонтальнiсть обумовлює малiсть вертикальної компоненти швидкостi, а повiльний рух у часi - малiсть радiальної компоненти. Ситуацiї, коли це припущення порушується, обговеренi у роздiлi про другоряднi течiї. На пiдставi зроблених припущень задача зводиться до одного лiнiйного рiвняння дифузiї для вертикальной компоненти завихренностi з рiзними горизонтальною та вертикальною дифузiями. Вертикальна дифузiя вважається наближенно сталою [1], що є типовим для стiйкої стратифiкацiї. Горизонтальна дифузiя рахується за законом "чотирьох третин'' Рiчардсона, що наближенно виконується для горизонтальних масштабiв вихорiв у дiапазонi 10-1000 м [2, 3]. Граничнi умови задачi стандартнi. Граничнi умови на вiльнiй поверхнi можна формулювати на поверхнi незбуреного шара рiдини, так як показано, що величина викривлення вiльної поверхнi є дуже малою у порiвняннi iз товщiною шару рiдини. За радiальною координатою використовується розподiл у виглядi iзольованого гауссiану [4-6]. Повний розв'язок лiнiйної задачи дозволяє вiдокремити процес горизонтальної дифузiї, для якого знайдено автомодельний розв'язок. Вiн, для даного радiального розподiлу, вiдповiдає умовi збереження третього моменту завихреностi. Показано, що лiнiйна модель справедлива, якщо число Фруда значно менше за 1.

This paper contains analytical solution for turbulent diffusion of an axisymmetric quasihorizontal isolated vortex. Quasihorizontality means small vertical velocities, and slow changing in time means also small radial velocities. The situations when these restrictions are broken are discussed in the section on secondary flows. On the base of made assumptions, the problem is reduced to an linear diffusion equation for vertical component of vorticity. The horizontal and vertical diffusions are different. The vertical diffusion is considered to be constant [1] that is only typical for stable stratification. Horizontal diffusion is calculated by Richardson Low of "four thirds'' that is approximately true for vortex scales range from 10 to 1000 m [2, 3]. The problem's boundary conditions are typical. The deformation of free surface for the problem is negligible in comparison with the thickness of the layer. So boundary conditions at free surface may be formulated at the surface of still fluid. For simulation of initial vorticity distribution on vertical coordinate, the special distribution that strictly meets boundary conditions is used. This distribution also affords to set vortex of various thickness and positions in the layer. On radial coordinate the distribution is taken as isolated Gaussian [4-6]. The solution of the linear problem affords splitting into two ones that correspond to horizontal and vertical diffusion processes. For the horizontal diffusion, the self-similar solution has been found. For certain radial distribution, this solution corresponds to conservation of vorticity third momentum. It is shown that linear model is valid when Froud number is significantly less than 1.