Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику

Abstract

Запропоновано варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі. Розглядається прямокутник, на бічних сторонах якого діють неоднорідні крайові умови, що апріорі невідомі. На сторонах , натомість, задано по чотири умови — однорідні умови для шуканої функції та її нормальної похідної , а також неоднорідні умови і , де — лінійні інтегро-диференціальні оператори, — задані функції. Розв’язок задачі подано у вигляді розвинення за незалежними повними системами бігармонічних функцій, що тотожно задовольняють однорідні умови на сторонах . Введено квадратичний функціонал, який за нормою L2 визначає відхилення розв’язку задачі від заданих на сторонах неоднорідних умов. Умови мінімуму функціонала приводять до безмежної системи лінійних рівнянь стосовно коефіцієнтів розвинення розв’язку. Розглянуто приклад застосування розробленого методу для визначення двовимірного напружено-деформованого стану тіла прямокутного перерізу за даними вимірювань нормальної та дотичної компонент вектора переміщень на його поверхні.

A variational method for solving inverse biharmonic problem has been introduced. The rectangle has been considered. The inhomogeneous boundary conditions acting on the pair of opposite rectangle legs are a priory unknown. On each leg of the other pair four boundary conditions are given: the homogeneous conditions for the desired function and their normal derivative and the conditions , , where — linear integro-differential operators, — given functions. The solution is represented as expansion in terms of full systems of biharmonic functions each of which satisfies identically the given homogeneous conditions on the legs . The quadratic functional determining in the L2 norm the deviation of the solution from the given on the legs inhomogeneous conditions has been built. The functional minimum conditions lead to infinite system of linear algebraic equations. As an example the method has been applied to determine 2-D stress-strained state of rectangular cross-section solid on the base of data gathered by measuring of the displacements on the body surface.

Предложен вариационный метод решения обратной бигармонической задачи. Рассматривается прямоугольник , на боковых сторонах которого действуют априори неизвестные неоднородные граничные условия. Вместе с тем на каждой из сторон задано четыре граничных условия: однородные условия для искомой функции и ее нормальной производной , а также неоднородные условия вида и , где — линейные интегро-дифференциальные операторы, — заданные функции. Решение задачи представляется в виде разложения по полным системам бигармонических функций, тождественно удовлетворяющих заданные на сторонах однородные условия. Построен квадратический функционал, который определяет в норме L2 отклонение решения задачи от заданных на сторонах неоднородных условий. Условия минимума этого функционала приводят к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения решения. Рассмотрен пример применения разработанного метода для определения двумерного напряженно-деформированного состояния тела прямоугольного сечения по данным измерений нормальной и тангенциальной компонент вектора перемещений на его поверхности.