Моделювання процесу теплопровідності в тілі з тонким ненаскрізним включенням

Abstract

У роботі запропоновано математичну модель нестаціонарного процесу теплопровідності у тілі з тонким включенням з відмінними теплофізичними параметрами. Модель враховує малу товщину включення у спосіб, який істотно дозволяє зменшити обчислювальні затрати комп’ютерної реалізації числових методів. Система рівнянь, що описує модель є полівимірною за просторовими змінними, тобто, якщо вимірність рівнянь у тілі — n, то вимірність рівнянь у включенні — n – 1. У математичному формулюванні товщина тонкого включення зведена до нуля. Вона входить у коефіцієнти рівнянь зниженої вимірності. Ненаскрізність включення приводить до потреби формулювання крайової умови спряження на його торцевому краю, яка пов’язує між собою співвідношення різної вимірності за просторовими координатами. У роботі сформульовано один із підходів до запису граничних умов на торці включення, а також наведено результати скінченноелементного аналізу на основі розглянутої моделі.

In present paper the mathematical model of nonstationary heat conduction in a body with thin inclusion with differing physical parameters has been constructed. The model takes into consideration an inclusion in the way that allows decreasing resources needed by computer realization of numerical methods. System of equations describing the model is polydimensional by space coordinates. It means that when dimension of equations in the body equals n than dimension of equations in inclusion equals n - 1. The thickness of an inclusion in mathematical model is reduced to zero. It appears in equation coefficients of dimensionally reduced equations. Non-through going of the inclusion leads to necessity to formulate boundary junction conditions on its thin boundaries that connects mathematical expressions of different dimensionalities by space coordinates. One of the approaches to formulation of junction conditions has been considered and results of finite element analysis of a test problem has been presented.

В работе предложена математическая модель нестационарного процесса теплопроводности в теле с тонким включением с отличающимися теплофизическими параметрами. Модель учитывает малую толщину включения путем, который позволяет сократить вычислительные затраты, которые возникают на этапе применения известных численных методов. Система уравнений модели имеет различную размерность по пространственным переменным: если размерность уравнений в теле — n, то размерность уравнений во включении — n – 1. В математической постановке толщина тонкого включения устремлена к нулю. Она присутствует в коэффициентах уравнений сниженной размерности. Ненасквозность включения приводит к необходимости формулировать граничные условия сопряжения на его торцевом крае, которые связывают между собой соотношения разной размерности по пространственных переменных. В работе представлен подход к формулированию граничных условий на торце включения, а также приведены результаты конечноэлементного анализа на основании рассмотренной проблемы.