Точная трехточечная схема и схемы высокого порядка точности для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка

Abstract

Предложены точная трехточечная схема и схемы высокого порядка точности, которые представляют собой две системы линейных алгебраических уравнений. Каждое уравнение системы содержит пять неизвестных значений искомого решения и его первой производной в трех точках сетки на отрезке. При построении схем использовался принцип суперпозиции решений и четырех линейно независимых решений задачи Коши. Частичные суммы функциональных рядов, представляющих независимые решения, дают схемы любого порядка точности для граничной и спектральной задач. Для решения линейных систем предложен метод модифицированной прогонки.

Запропоновано точну триточкову схему та схеми високого порядку точності, які є двома системами лінійних алгебраїчних рівнянь. Кожне рівняння системи має п'ять невідомих значень шуканого розв'язку та його першої похідної в трьох точках сітки на відрізку. Для побудови схем використано принцип суперпозиції розв'язків та чотирьох лінійно незалежних розв'язків задачі Коші. Частинні суми функціональних рядів, які є незалежними розв'язками, дають схеми довільного порядку точності для крайової та спектральної задач. Для розв'язування лінійних систем запропоновано метод модифікованої прогонки.

We propose a exact three-point scheme and schemes of high order of accuracy, which are two systems of linear algebraic equations. Each equation of the system contains five unknown values of the exact solution and its first derivative at three grid points on the interval. In constructing the scheme, the principle of superposition of solutions was used. Partial sums of the functional series representing independent solutions give schemes of arbitrary order of accuracy for the boundary problem and for the spectral one. To solve systems of linear equations, the modified ribbon matrix algorithm is proposed.