Математические методы поиска оптимального управления колебаниями шарнирно закрепленной балки (детерминированный случай)

Abstract

Рассматриваются несколько постановок задачи об оптимальном управляемом возбуждении колебаний шарнирно закрепленной балки. Колебания происходят под воздействием нескольких внешних периодических сил. В простейшей постановке задачи предполагается, что структура балки однородна. В более сложной постановке допускается наличие неоднородностей (дефектов) на балке. Цель управления колебаниями балки состоит в обеспечении заданной формы и заданной поточечной фазы колебаний в определенном частотном диапазоне. Задача состоит в определении того, сколько необходимо приложенных сил (включая их характеристики — места приложения, амплитуды и фазы колебаний) для обеспечения желаемой формы колебаний с заданной точностью. С помощью аналитических математических методов рассматриваемые задачи сводятся к более простым многоэкстремальным задачам минимизации основных функционалов, которые численно решаются с помощью многофункционального пакета AORDA PSG.

Розглянуто кілька постановок задачі про оптимальне кероване збудження коливань шарнірно закріпленої балки. Коливання відбуваються під впливом декількох зовнішніх періодичних сил. У найпростішій постановці задачі вважають, що структура балки є однорідною. У більш складній постановці допускають наявність неоднорідностей (дефектів) на балці. Мета керування коливаннями балки полягає у забезпеченні заданої форми і заданої поточкової фази коливань у визначеному частотному діапазоні. Задача полягає у визначенні того, скільки необхідно прикладених сил та їхніх характеристик (місця прикладення, амплітуди і фази коливань) для забезпечення бажаної форми коливань із заданою точністю. За допомогою аналітичних математичних методів розглянуті задачі зводяться до більш простих багатоекстремальних задач мінімізації основних функціоналів, які чисельно розв’язуються за допомогою багатофункціонального пакету AORDA PS.

We consider several problem statements for the optimal controlled excitation of oscillations of a hinged beam. Oscillations occur under the influence of several external periodic forces. In the simplest statement, it is assumed that the structure of the beam is homogeneous. In a more complex formulation, inhomogeneities (defects) on the beam are allowed. The goal of controlling the oscillations of the beam is to provide a predetermined shape and a predetermined pointwise phase of oscillations in a given frequency range. The task is to determine the number of forces and their characteristics (application, amplitude and phase of oscillations), which provide the desired form of oscillation with a given accuracy. With the help of analytical mathematical methods, the problems in question are reduced to simpler multiextremal problems of minimizing basic functionals, which are numerically solved using the multifunctional package AORDA PSG.