К вопросу об устойчивости гибридных автоматов по части переменных

Abstract

Рассмотрена задача устойчивости гибридных автоматов относительно части переменных.

Розглянуто задачу стійкості гібридних автоматів відносно частини змінних. Задача актуальна і інтенсивно розвивається. Розглянуто також аспекти її вирішення методом функцій Ляпунова. Питання про стійкість гібридних автоматів відносно частини змінних виникає природним чином, перш за все, в прикладних проблемах. А саме, виходячи з вимог нормального функціонування обʼєкта, досить забезпечити його стійкість лише за частиною змінних. Постановка задачі про стійкість за частиною змінних належить О.М. Ляпунову, але він сам цією задачею не займався. Існує значна методологічна подібність у вивченні стійкості за всіма і за частиною змінних за допомогою функцій Ляпунова. У вирішенні деяких ідентичних питань стосовно задач стійкості за всіма і за частиною змінних є певні відмінності. Відомі методи дозволяють зводити задачу стійкості відносно частини змінних до дослідження задачі за всіма змінними деякої допоміжної системи, і навпаки. Ці два види стійкості тісно пов’язані та взаємно доповнюють один одного. Наразі задачу стійкості гібридного автомата відносно частини змінних розглядають як самостійний розділ теорії стійкості. Основним методом дослідження, як і в задачі стійкості за всіма змінними, виявився метод Ляпунова. Показано, що властивості y₁-додатно визначеності функцій Ляпунова недостатньо для дослідження стійкості гібридних автоматів за частиною змінних. Введено поняття y₁ -рівномірної додатної визначеної функції. Доведено теореми, які дають достатні умови стійкості. Для лінійних гібридних автоматів отримано конструктивні умови стійкості. Також показано, як за допомогою наведених теорем досліджувати на стійкість гібридні таймовані автомати.

The problem of the stability of hybrid automata according to certain variables is considered. This problem is relevant and it is increasing rapidly, especially in recent years. Aspects of it's solution using the Lyapunov function are also considered. The problem of hybrid automata stability regarding certain variables arises naturally while solving the applied problems. Namely, when, based on the requirements of the normal functioning of an object, it is sufficient to ensure its stability only according to some variables. Formulation of the problem of stability regarding certain variables belongs to A.M. Lyapunov, but he himself did not investigate this problem. There is a great methodological similarity in the study of stability considering all, and part of variables using Lyapunov functions. But there are certain differences in resolving some identical issues as applied to stability problems for all and part of the variables. There are methods to reduce the problem of stability regarding certain variables to the study of stability in all variables of some auxiliary system, and vice versa. These two types of stability are closely related and mutually complementary. Currently, the problem of the stability of hybrid automata in terms of variables is considered as an independent section of the theory of stability. It is shown that the property of y₁ -positive definiteness of Lyapunov functions is not enough to investigate the stability of hybrid automata in terms of variables. The concept of a y₁-equable positive definiteness of a function had been introduced. Theorems that provide sufficient stability conditions had been proved. For linear hybrid automata, constructive stability conditions had been obtained. The article also shows how using the above theorems one can investigate the stability of hybrid timed automata.