Об оптимальном импульсном управлении в дескрипторных системах

Abstract

Рассмотрена задача оптимального импульсного управления дескрипторной системой, заключающаяся в нахождении минимума квадратичного функционала качества с импульсными интенсивностями. Динамика подобных систем описывается дифференциально-алгебраическими уравнениями, не разрешенными относительно производной. Основное предположение при исследовании поставленной задачи состоит в регулярности характеристического пучка матриц, отвечающего уравнению. Это предположение позволяет представить решение импульсного дифференциально-алгебраического уравнения в виде формулы вариации постоянных и гарантировать существование и единственность решения поставленной задачи оптимального импульсного управления. Через решение сопряженной двухточечной краевой задачи строятся оптимальное импульсное управление и оптимальная траектория системы.

Вивчаємо задачу оптимального імпульсного керування з квадратичним функціоналом якості для дескрипторної системи. Еволюція системи описується диференційно-алгебраїчним рівнянням, що не розв’язне відносно похідної стану. Керування системою здійснюється шляхом зміни вимірного керування та чисто імпульсного керування. Чисто імпульсне керування характеризується інтенсивностями імпульсів та моментами прикладання імпульсів. Основне обмеження полягає в тому, що характеристичний жмуток матриць, що відповідає рівнянню станів, є регулярним. У термінах характеристичного матричного жмутка встановлюються умови існування і єдиності оптимального керування та відповідного оптимального стану. Оптимальне керування та оптимальний стан будуються за допомогою спряженого стану, що є розв’язком спряженої двоточкової крайової задачі. Результати ілюструються на прикладі дескрипторної системи, що описує перехідні режими у радіотехнічному фільтрі. Для цієї системи розглядається енергетичний функціонал якості з імпульсними інтенсивностями, що характеризує енергію інерційних елементів та вхідної напруги фільтру, а також інтенсивності та моменти прикладання імпульсів. Перехідні режими при імпульсних збуреннях струмів і напруг описуються за допомогою формули варіації сталих для імпульсної дескрипторної системи.

We study the optimal impulse control problem with quadratic perfomance functional for a descriptor system. The system evolution is described by a linear differential-algebraic equation not solved with respect to the derivative of the state. The system is controlled by changing the measurable control and the pure impulse control. The pure impulse control is characterized by impulse intensities and moments of impulse applications. The main restriction is that the characteristic matrix pencil corresponding to the state equation is regular. In terms of the characteristic matrix pencil, we establish the conditions for the existence and uniqueness of the optimal control and the corresponding optimal state. The optimal control and the optimal state are constructed by using the adjoint state, which is a solution to the adjoint two-point boundary value problem. The results are illustrated on an example of descriptor system that describes transient states in a radio technical filter. For this system, we consider an energetic perfomance functional with impulse intensities characterizing the energy of inertial elements and input voltage of the filter and also moments of impulse applications. Transient states under impulsive perturbations of currents and voltages are described by using the formula of variation of constants for the impulsive descriptor system.