Задача про математичний сейф та її розв'язання (частина 2)

Abstract

Мета статті. Представлення методів розв’язання задачі про математичний сейф (в матричному та графовому виглядах) для різноманітних її варіацій, які пов’язані як з областю, над якою розглядається задача, так і зі структурою систем лінійних рівнянь над цими областями. Розглянуто розв’язання відповідних систем у скінченних простих полях, скінченних полях, примарних кільцях лишків та скінченних кільцях. Всі наведені алгоритми мають оцінки часової складності. Результати. Наведено приклади розв’язання задачі про математичний сейф, умови існування розв’язків в різних областях, над якими ця задача розглядається (скінченні прості поля, скінченні поля, примарні кільця, і асоціативно-комутативні кільця з одиницею). Вибір відповідної області над якою розглядається задача про математичний сейф, та відповідного алгоритму розв’язання залежить від кількості позицій засувів сейфа. Всі наведені алгоритми супроводжуються оцінками їх часової складності, які розглядалися в першій частині даної роботи..

Цель статьи. Представить методы решения задачи о математическом сейфе для различных ее вариаций, которые связаны как с областью, над которой рассматривается задача, так и со структурой систем линейных уравнений над этими областями. Рассмотреть задачу о математическом сейфе (в матричном и графовом видах) в разных вариациях над различными конечными областями и продемонстрировать работу методов решения этой задачи и их эффективность (системы над конечными простыми полями, конечными полями, примарными кольцами и конечными ассоциативно-коммутативными кольцами). Результаты. Приведены различные вариации задачи о математическом сейфе, условия существования решений в различных областях, над которыми эта задача рассматривается. Каждая вариация задачи о математическом сейфе и метод ее решения иллюстрируется на примерах. Выбор области, над которой рассматривается задача о математическом сейфе, зависит от числа позиций замков. Описываются вариации задачи как на основе изменения структуры матрицы системы, так и комбинации, открывающей сейф над конечным полями и кольцами. Все приведенные алгоритмы имеют оценки временной сложности, которые приводились в первой части этой работы.

The purpose of the article. To present methods for solving the problem of a mathematical safe for its various variations, which are related both to the domain over which the problem is considered and to the structure of systems of linear equations over these domains. To consider the problem of a mathematical safe (in matrix and graph forms) in different variations over different finite domains and to demonstrate the work of methods for solving this problem and their efficiency (systems over finite simple fields, finite fields, ghost rings and finite associative-commutative rings). Results. Examples of solving the problem of a mathematical safe, the conditions for the existence of solutions in different areas, over which this problem is considered. The choice of the appropriate area over which the problem of the mathematical safe is considered, and the appropriate algorithm for solving it depends on the number of positions of the latches of the safe. All these algorithms are accompanied by estimates of their time complexity, which were considered in the first part of this paper.