Asymptotically periodic solutions to nonlocal Cauchy problems governed by compact evolution families

Abstract

This paper is devoted to a study of a class of abstract Cauchy problems for semilinear nonautonomous evolution equations involving nonlocal initial conditions. Combining the theory of evolution families and the fixed point theorem due to Krasnoselskii, as well as a decomposition technique, we prove the existence of the asymptotically periodic mild solutions to such problems. Our results generalize and improve some previous results since the (locally) Lipschitz continuity on the nonlinearity is not required. A partial differential equation is also presented as an application.

Статтю присвячено вивченню класу абстрактних задач Кошi для напiвлiнiйних неавтономних еволюцiйних рiвнянь з нелокальними початковими умовами. З використанням теорiї еволюцiйних сiмей та теореми Красносельського про нерухому точку, а також технiки розкладу доведено iснування асимптотично перiодичних м’яких розв’язкiв таких задач. Наведенi результати узагальнюють та покращують попереднi результати, оскiльки не вимагається, щоб нелiнiйнiсть задовольняла (локальну) умову Лiпшиця. Як приклад наведено диференцiальне рiвняння з частинними похiдними.