Two functional boundary-value problems with singularities in phase variables

Abstract

Розглядається диференцiальне рiвняння x`` = f(t, x, x`) з двома функцiональними граничними умовами. Тут f(t, x, y) локально є функцiєю Каратеодорi, що може мати особливiсть вiдносно фазових змiнних x та y в точках x = 0 та y = 0. Основною спiльною властивiстю цих двох задач з особливостями є те, що будь-який розв’язок або похiдна будь-якого розв’язку „проходить” через особливостi f всерединi [0, T]. Результати про iснування доведено за допомогою регуляризацiї та послiдовностей, а також з використанням антимодальної теореми Барсука, степеня Лере – Шаудера та теореми Вiталi про збiжнiсть.

The differential equation x`` = f(t, x, x`) together with two functional boundary conditions is considered. Here f(t, x, y) is local Caratheodory function which may be singular at the points x = 0 and y = 0 of the phase variables x and y. The main common feature for these two singular problems is the fact that any solution or the derivative of any solution “pass through” the singularities of f somewhere inside of [0, T]. Existence results are proved by the regularization and sequential techniques and using the Borsuk antipodal theorem, the Leray – Schauder degree and the Vitali’s convergence theorem.