Deformations of circle-valued Morse functions on surfaces

Abstract

Let M be a smooth connected orientable compact surface and let Fcov(M,S1) be a space of all Morse functions f : M → S₁ without critical points on ∂M such that, for any connected component V of ∂M, the restriction f : V → S₁ is either a constant map or a covering map. The space Fcov(M,S₁) is endowed with the C ∞-topology. We present the classification of connected components of the space Fcov(M,S₁). This result generalizes the results obtained by Matveev, Sharko, and the author for the case of Morse functions locally constant on ∂M.

Нехай M — гладка зв'язна орієнтовна компактна поверхня. Позначимо через Fcov(M,S₁) простір усіх відображень Морса f:M→S₁, які не мають критичних точок на ∂M, а для кожної компоненти зв'язності V межі дМ обмеження f:V→S₁ є або постійним або накриваючим відображенням. Наділимо Fcov(M,S₁) топологією C∞. У статті наведено класифікацію компонент зв'язності простору Fcov(M,S₁). Цей результат узагальнює результати С. В. Матвєєва, В. В. Шарка та автора про функції Морса, що є локально постійними на ∂M.