Об одном классе экстремальных продолжений меры

Abstract

Розглянуто взаємозв'язок між двома множинами продовжень скінченної скінченно-адитивної міри μ, визначеної на алгебрі множин B, на більш велику алгебру A. Це множина exSμ всіх екстремальних продовжень міри μ і множина Hμ всіх таких продовжень, які визначені як λ(A)=μˆ(h(A)),A∈A, де μˆ — фактор-міра на алгебрі B/μ класів μ-еквівалентності і h:A→B/μ — гомоморфізм, що продовжує канонічний гомоморфізм B на B/μ. Досліджено властивості продовжень з Hμ. Наведено необхідні та достатні умови існування таких продовжень, а також умови, за яких множини exSμ і Hμ збігаються.

We consider a relationship between two sets of extensions of a finite finitely additive measure μ defined on an algebra B of sets to a broader algebra A. These sets are the set ex S μ of all extreme extensions of the measure μ and the set H μ of all extensions defined as λ(A)=μ^(h(A)),A∈A, where μ^ is a quotient measure on the algebra B/μ of the classes of μ-equivalence and h:A→B/μ is a homomorphism extending the canonical homomorphism B to B/μ. We study the properties of extensions from H μ and present necessary and sufficient conditions for the existence of these extensions, as well as the conditions under which the sets ex S μ and H μ coincide.