Remainders of semitopological groups or paratopological groups

Abstract

We mainly discuss the remainders of Hausdorff compactifications of paratopological groups or semitopological groups. Thus, we show that if a nonlocally compact semitopological group G has a compactification bG such that the remainder Y = bG \ G possesses a locally countable network, then G has a countable π -character and is also first-countable, that if G is a nonlocally compact semitopological group with locally metrizable remainder, then G and bG are separable and metrizable, that if a nonlocally compact paratopological group has a remainder with sharp base, then G and bG are separable and metrizable, and that if a nonlocally compact ℝ1-factorizable paratopological group has a remainder which is a k -semistratifiable space, then G and bG are separable and metrizable. These results improve some results obtained by C. Liu (Topology Appl., 159, 1415–1420 (2012)) and A.V. Arhangel’skїǐ and M. M. Choban (Topology Proc., 37, 33–60 (2011)). Moreover, some open questions are formulated.

У даній статті, в основному, розглядаються залишковi члени хаусдорфових компактифiкацiй паратопологічних груп або напівтопологічних груп. Tак, показано, що у випадку, коли нелокально компактна напівтопологічна група G має компактифікацію bG таку, що залишковий член Y=bG∖G має локально злічєнну мережу, група G має злічєнний π-характер, а також є першозліченною. Також доведено, що для нелокально компактної напівтопологічної групи з локально метризовним залишковим членом групи G i bG є сепарабельними i метризовними. Крім того, якщо нелокально компактна паратопологічна група має залишковий член з точною базою, то групи G i bG є сепарабельними і метризовними, а якщо нелокально компактна R1 -факторизовна паратопологічна група має залишковий член, який є простором, що допускає k-напівспрямлення, то групи G i bG є також сепарабельними i метризовними. Наведені результати покращують деякі результати, отримані C. Liu (Topology and Appl. - 2012. - 159. - P. 1415-1420) i A. V. Arhangel'skii, M. M. Choban (Topology Proc. - 2011. - 37. - P. 33 - 60). Крім того, сформульовано деякі відкриті питання.