К теории простых концов для пространственных отображений

Abstract

Наведено канонічне зображення простих кінців у регулярних областях i на цій пiдставi досліджено межову поведінку так званих нижніх Q-гомеоморфізмів, які є істотним узагальненням квазіконформних відображень. Знайдено низку ефективних умов на функцію Q(x) для гомеоморфного продовження вказаних відображень по простих кінцях в областях з регулярними межами. Розвинуту теорію можна застосувати, зокрема, до відображень класів Орліча-Соболєва, а також до скінченно біліпшицевих відображень, які є істотним узагальненням відомих класів ізометричних та квазіізометричних відображень.

We present a canonical representation of prime ends in regular domains and, on this basis, study the boundary behavior of the so-called lower Q-homeomorphisms obtained as a natural generalization of quasiconformal mappings. We establish a series of effective conditions imposed on a function Q(x) for the homeomorphic extension of given mappings with respect to prime ends in domains with regular boundaries. The developed theory is applicable, in particular, to mappings of the Orlicz–Sobolev classes and also to finitely bi-Lipschitz mappings, which can be regarded as a significant generalization of the well-known classes of isometric and quasiisometric mappings.