Классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций

Abstract

Вивчається множина D∞ нескінченно диференційовних періодичних функцій у термінах узагальнених ψ¯-похідних, що визначаються парою ψ¯=(ψ₁,ψ₂) послідовностей ψ₁ i ψ₂. Зокрема, показано, що кожна функція f, яка належить множині D∞, має хоча б одну похідну, параметри якої ψ₁ i ψ₂ спадають до нуля швидше за будь-яку степеневу функцію, і водночас для будь-якої функції f∈D∞, відмінної від тригонометричного полінома, знайдеться пара ψ, параметри ψ₁ i ψ₂ якої мають таку саму швидкість спадання i для якої ψ¯-похідна вже не існує. Встановлено також нові критерії належності 2π-періодичних дійснозначних на дійсній осі функцій множинам аналітичних на осі та цілих функцій.

The set D∞ of infinitely differentiable periodic functions is studied in terms of generalized ψ¯-derivatives defined by a pair ψ¯=(ψ₁,ψ₂) of sequences ψ₁ and ψ₂. In particular, we establish that every function f from the set D∞ has at least one derivative whose parameters ψ₁ and ψ₂ decrease faster than any power function. At the same time, for an arbitrary function f ∈ D∞ different from a trigonometric polynomial, there exists a pair ψ whose parameters ψ₁ and ψ₂ have the same rate of decrease and for which the ψ¯-derivative no longer exists. We also obtain new criteria for 2π-periodic functions real-valued on the real axis to belong to the set of functions analytic on the axis and to the set of entire functions.