On semilinear equations in the complex plane

Abstract

We study the Dirichlet problem for the semilinear partial differential equations div (A∇u) = f (u) in simply connected domains D of the complex plane C with continuous boundary data. We prove the existence of the weak solutions u in the class C∩Wloc¹’²(D), if a Jordan domain D satisfies the quasihyperbolic boundary condition by Gehring—Martio. An example of such a domain that fails to satisfy the standard (A)-condition by Ladyzhenskaya—Ural'tseva and the known outer cone condition is given. Some applications of the results to various processes of diffusion and absorption in anisotropic and inhomogeneous media are presented.

Досліджено задачу Діріхле для напівлінійних рівнянь в частинних похідних div (A∇u) = f (u) в однозв’язних областях D комплексної площини C з неперервними граничними умовами. Доведено існування слабких розв’язків u у класі C∩Wloc¹’²(D), якщо Жорданова область D задовольняє квазігіперболічну граничну умову Герінга—Мартіо. Наведено приклад такої області, яка не задовольняє стандартну (А)- умову Ладиженської–Уральцевої та відому умову зовнішнього конуса. Також наведено деякі застосування отриманих результатів до різних процесів дифузії та поглинання в анізотропних і неоднорідних середовищах.

Исследована задача Дирихле для полулинейных уравнений в частных производных div (A∇u) = f (u) в односвязных областях D комплексной плоскости C с непрерывными граничными условиями. Доказано существование слабых решений u в классе C∩Wloc¹’²(D), если Жорданова область удовлетворяет квазигиперболическому граничному условию Геринга—Мартио. Приведен пример такой области, которая не удовлетворяет стандартному (А)-условию Ладыженской—Уральцевой и известному условию внешнего конуса. Также приведены некоторые применения полученных результатов к различным процессам диффузии и поглощения в анизотропных и неоднородных средах.