Исследование одного класса диофантовых уравнений

Abstract

Розглядається питання про існування розв'язків рівняння X/Y+Y/Z+Z/X=m в натуральних числах при різних m ∈ N. Доведено, що при m=a2+5, a ∈ Z рівняння має розв'язки в натуральних числах, а при m=4p², p ∈ N, р не ділиться на 3, не має розв'язків. Також доведено, що при n ≥ 12 рівняння b1/b2+b2/b3+⋯+bn−1/bn+bn/b1=m

має розв'язки в натуральних числах тоді і тільки тоді, коли m ≥ n, m ∈ N.

We consider the problem of existence of solutions of the equation X/Y+Y/Z+Z/X=m in natural numbers for different m ∈ N. We prove that this equation possesses solutions in natural numbers for m=a2+5, a ∈ Z, and does not have solutions if m = 4p², p ∈ N, andp is not divisible by 3. We also prove that, for n ≥ 12, the equation b1/b2+b2/b3+⋯+bn−1/bn+bn/b1=m possesses solutions in natural numbers if and only if m ≥ n, m ∈ N.