Methods for derivation of the stochastic Boltzmann hierarchy

Abstract

We consider different methods for the derivation of the stochastic Boltzmann hierarchy corresponding to the stochastic dynamics that is the Boltzmann-Grad limit of the Hamiltonian dynamics of hard spheres. Solutions of the stochastic Boltzmann hierarchy are the Boltzmann-Grad limit of solutions of the BBGKY hierarchy of hard spheres in the entire phase space. A new concept of reduced distribution functions corresponding to the stochastic dynamics are introduced. They take into account the contribution of the hyperplanes of lower dimension where stochastic point particles interact with one another. The solutions of the Boltzmann equation coincide with one-particle distribution functions of the stochastic Boltzmann hierarchy and are represented by integrals over the hyperplanes where the stochastic point particles interact with one another.

Розглянуто різні методи виведення стохастичної ієрархії, що відповідає стохастичній динаміці, яка є границею Больцмана - Греда від гамільтопової динаміки пружних куль. Розв'язки стохастичної ієрархії є границею Больцмана - Греда розв'язків ієрархії ББГКІ для пружних куль у всьому фазовому просторі. Запропоновано нову концепцію редукованих функцій розподілу, що відповідають стохастичній динаміці. Нові функції розподілу враховують вклади від гіперплощии менших розмірностей, де взаємодіють стохастичпі точкові частинки. Розв'язки рівняння Больцмана співпадають з одпочастииковими функціями розподілу стохасшчиої ієрархії Больцмана і зображуються інтегралами по гіперповерхпях, де стохастичпі точкові частки взаємодіють.