Long-Time Asymptotics for the Toda Shock Problem: Non-Overlapping Spectra

Abstract

We derive the long-time asymptotics for the Toda shock problem using the nonlinear steepest descent analysis for oscillatory Riemann-Hilbert factorization problems. We show that the half-plane of space/time variables splits into five main regions: The two regions far outside where the solution is close to the free backgrounds. The middle region, where the solution can be asymptotically described by a two band solution, and two regions separating them, where the solution is asymptotically given by a slowly modulated two band solution. In particular, the form of this solution in the separating regions verifies a conjecture from Venakides, Deift, and Oba from 1991.

Застосовуючи нелiнiйний аналiз найшвидшого спуску для осциляторної задачi факторизацiЁ Рiмана–Гiльберта, ми виводимо асимптотики при великих значеннях часу для хвилi стиску ланцюжка Тоди. Ми демонструємо, що пiвплощина просторової/часової змiнних розпадається на п’ять основних областей.У двох зовнiшнiх розв’язок є асимптотично наближеним до вiдповiдних вiльних тонiв. У середньому регiонi вiн є наближеним до двозонного розв’язку ланцюжка Тоди. У двох регiонах, що залишилися, розв’язок є асимптотично наближеним до повiльно модульованої елiптичної хвилi. Зокрема, форма розв’язку в цих областях пiдтверджує гiпотезу Вернакiдеса, Дейфта та Оба вiд 1991 р.