О классах Соболева с критическим показателем

Abstract

В статье установлено, что любой гомеоморфизм f класса Соболева Wloc¹ ⁿ⁻¹ с внешней дилатацией Ko(x, f) ∊ Llocⁿ⁻¹ является так называемым нижним Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Ko(x, f), а также кольцевым Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Koⁿ⁻¹(x, f). Это позволяет исследовать локальное и граничное поведение отображений класса Wloc¹ ⁿ⁻¹.

У статтi встановлено, що будь-який гомеоморфiзм f класа Соболєва Wloc¹ ⁿ⁻¹ iз зовнiшньою дiлатацiєю Ko(x, f) ∊ Llocⁿ⁻¹ є так званим нижнiм Q-гомеоморфiзмом iз Q(x) = Ko(x, f), та кiльцевим Q-гомеоморфiзмом iз Q(x) = Koⁿ⁻¹(x, f).

It is established in the present paper that an arbitrary homeomorphism f : D → Rⁿ of a domain in Rⁿ, n ≥ 2, in the Sobolev class Wloc¹ ⁿ⁻¹ with the outer dilatation Ko(x, f) ∊ Llocⁿ⁻¹ is the so–called ring Q-homeomorphism with Q(x) = Koⁿ⁻¹(x, f) and also the so–called lower Q-homeomorphism with Q(x) = Ko(x, f).