О лакунах в спектре оператора Хилла – Шредингера с сингулярным потенциалом

Abstract

Исследуется непрерывный спектр оператора Хилла—Шредингера в гильбертовом пространстве L²(R). Предполагается, что потенциал оператора принадлежит классу Соболева H⁻¹loc(R). Найдены условия, при которых последовательность длин спектральных лакун: а) ограничена; б) стремится к нулю. Особо изучен случай, когда потенциал является вещественной мерой Радона на R.

Досліджується неперервний спектр оператора Хілла—Шредінгера в гільбертовому просторі L²(R). Вважається, що потенціал оператора належить до класу Соболєва H⁻¹loc(R). Знайдено умови, за яких послідовність довжин спектральних лакун: а) обмежена; б) прямує до нуля. Окремо досліджено випадок, коли потенціал є дійсною мірою Радона на R.

We study the continuous spectrum of the Hill—Schrödinger operator in a Hilbert space L²(R). The operator potential belongs to a Sobolev space H⁻¹loc(R). The conditions are found for the sequence of lengths of spectral gaps to: a) be bounded; b) converge to zero. The case where the potential is a real Radon measure on R is studied separately.