Адаптивное кусочно-линейное приближение трудновычислимых функций

Abstract

Рассматривается адаптивный подход к аппроксимации непрерывной одномерной функции с использованием кусочно-линейного приближения. Применяется простой механизм адаптивного управления шаговым процессом с обратной связью. Возможности подхода рассматриваются на задачах вычисления длин кривых и значений определенных интегралов. Приведены результаты расчета определенных интегралов с разным характером подынтегральной функции, полученные предложенным методом и обычным методом трапеций. Численные результаты показали высокую эффективность предложенного адаптивного подхода.

Розв'язання багатьох теоретичних і прикладних задач вимагає одні функціональні залежності заміняти іншими, більш зручними для реалізації конкретної математичної задачі. При цьому інформація про характер вихідної функції може бути недостатньою, а сама функція належати до важкообчислювальних. Точність такої апроксимації залежить від застосовуваних методів, характеру вихідної функції, а також від кількості й вибору вузлів сітки. Простіше всього така апроксимація будується на рівномірній сітці вузлів, що не завжди забезпечує прийнятний результат. Метою статті є розробка ефективних адаптивних методів апроксимації функцій для задач пошуку довжин кривих й обчислення інтегралів в умовах обмеженої інформації про характер самої функції й наявності її похідних. У роботі пропонується адаптивний підхід до апроксимації широкого класу одновимірних функцій. Для апроксимації використовується кусково-лінійне наближення із простим механізмом експонентного адаптивного керування кроковим процесом зі зворотним зв'язком. Можливості такого підходу розглянуті на задачах обчислення довжини кривих і значень визначених інтегралів. Для кожного випадку докладно викладені особливості застосування розробленого підходу. Він не вимагає завдання початкового розподілу вузлів. Метод забезпечує необхідну точність в автоматичному режимі. Результат реалізується за один прохід без будь-яких попередніх перетворень. Вірогідність отриманих результатів підтверджується розв'язанням відомих тестових прикладів. Наведено дані розрахунку ряду визначених інтегралів з різним характером підінтегральної функції. Результати розрахунку запропонованим методом порівнюються з даними, отриманими звичайним методом трапецій. Установлено високу ефективність запропонованого підходу. Запропонований метод відкриває шлях до створення ефективних засобів для розв'язання задач чисельного інтегрування та диференціювання, для розв’язання інтегральних і диференціальних рівнянь і т.п.

The solution of many theoretical and applied problems requires that some functional dependencies be substituted into others, which are more convenient for the implementation of a specific mathematical problem. At the same time, information about the character of the original function can be insufficient, and the function itself can be considered to be difficult to compute. The accuracy of such an approximation depends on the methods used, the character of the original function, as well as the number and choice of grid points. The easiest way of building such an approximation is doing it on a uniform grid of points, which does not always provide an acceptable result. The purpose of this paper is to develop effective adaptive methods of approximating functions for the problems aimed at searching for the lengths of curves and calculating integrals under conditions of limited information about the character of the original function and the presence of its derivatives. An adaptive approach to the approximation of a wide class of one-dimensional functions is proposed in the paper. For this approximation a piecewise linear approximation with a simple mechanism of exponential adaptive feedback step process control is used. The possibilities of this approach are considered, using the problems of calculating the lengths of curves and values of definite integrals. The specifics of the application of the suggested approach are detailed for each case. The approach does not require an initial allocation of grid points. The method ensures the required accuracy in automatic mode. The result is realized in a single pass without any preliminary transformations. The reliability of the obtained results is confirmed by solving the known test examples. The results of calculating a number of definite integrals with different nature of integrand are presented. The calculation results by the proposed method are compared with the data obtained by the usual trapezoid method. A high efficiency of the proposed approach is established. The proposed method opens the way for creating effective means for solving numerical integration and differentiation problems, as well as integral and differential equations and so on.