Особенности динамики одномерных дискретных систем с взаимодействием не только ближайших соседей и роль высшей дисперсии в солитонной динамике

Abstract

Обсуждена роль взаимодействия не только ближайших соседей в атомной цепочке при изучении динамики как идеальной системы, так и системы с точечным дефектом. Построена функция Грина стационарных колебаний цепочки при всех частотах. Показано, что при учете взаимодействия со следующими за ближайшими соседями функция Грина неизбежно становится двупарциальной, причем характер ее двух составляющих существенно определяется собственной частотой. Выяснено, что частотам сплошного спектра малых колебаний отвечает функция Грина, имеющая одну составляющую типа плоской волны, а вторую - локализованную вблизи источника возмущения. Эта функция Грина описывает так называемые квазилокальные колебания. При определенных дискретных частотах, попадающих в сплошной спектр, квазилокальное колебание превращается в локальное (не распространяющееся на бесконечность). Проанализированы условия применимости дифференциальных уравнений с четвертой пространственной производной для описания длинноволновых колебаний атомной цепочки. Сформулированы соотношения между параметрами атомных взаимодействий, позволяющих использовать такие уравнения. Обсуждены асимптотики полей солитонов в нелинейной среде с пространственной дисперсией. Показано, что большинство параметров солитона определяется законом дисперсии линеаризованного уравнения.

Обговорено роль взаємодії не тількі найближчих сусідів в атомному ланцюжку при вивченні динаміки як ідеальної системи, так і системи з точковим дефектом. Побудовано функцію Гріна стаціонарних коливань ланцюжка при усіх частотах. Показано, що при урахуванні взаємодії з наступними за найближчими сусідами функція Гріна стає двопарціальною, причому характер її двох складових суттєво визначається власною частотою. Встановлено, що частотам суцільного спектра малих коливань відповідає функція Гріна, яка має одну складову типу плоскої хвилі, а другу — локалізовану поблизу джерела збурення. Така функція Гріна описує так звані квазілокальні коливання. При визначених дискретних частотах, що потрапляють до суцільного спектра, квазілокальне коливання перетворюється в локальне (яке не розповсюджується на нескінченність). Проаналізовано умови використання диференціальних рівнянь з четвертою просторовою похідною для опису довгохвильових коливань атомного ланцюжка. Сформульовано співвідношення між параметрами атомних взаємодій, які дозволяють використовувати такі рівняння. Обговорено асимптотики полів солітонів в нелінійному середовищі з просторовою дисперсією. Показано, що більшість параметрів солітона визначається законом дисперсії лінеарізованого рівняння.

Effect of interaction of not only nearest neighbors on dynamics of both perfect systems and systems with point defects is analyzed. The Green functions for stationary vibrations of the chain for every frequency are constructed. It is shown that the Creen function becomes bipartial with taking into account the interaction with nearest neighbors, and the character of these two components is determines essentially by the self frequency. The Green function for the continuous spectrum of small vibrations has got one component of a standing wave type and nother of a wave localized near the perturbation source. Such Green function describe so-called quasi-localized vibrations. It is found that there are special discrete frequencies inside the continuous spectrum for which the quasi-localized vibrations transform into localized ones (not existing to infinity). The conditions under which the differential equations with the fourth spatial derivative may be applied to describe the long-wave vibrations of the atomic chain are considered. Relations between the atomic parameters that permit the application of such equations are formulated. The asymptotics of soliton fields in a nonlinear medium with a spatial dispersion are discussed. The majority of the soliton parameters are shown to be determined by the dispersion relation of the linearized equation.