Оптимізація процесу осесиметричних коливань кругового кільця

Abstract

Розглянуто задачу оптимізації процесу осесиметричних коливань кругового кільця. Отримано необхідні умови оптимальності, які представлені у вигляді двоточкової крайової задачі. Для її дослідження виведена система інтегро-диференціаьних рівнянь Ріккаті з частинними похідними. Розв'язок цієї системи поданий в аналітичній формі. Також представлено розширену таблицю коренів трансцендентного рівняння, в якому пов'язані функції Бесселя нульового порядку першого та другого роду. Таке рівняння виникає при дослідженні процесів теплопровідності та коливних процесів в тілах циліндричної форми.

В статье рассматривается линейно-квадратическая задача оптимального управления осесимметричными колебаниями кругового кольца. Актуальность этой задачи не вызывает сомнений, поскольку в основном такие задачи исследовались в прямоугольной декартовой системе координат. Автором статьи предложена формулировка вышеупомянутой задачи в полярной системе координат. С помощью метода множителей Лагранжа получены необходимые условия оптимальности. Доказана единственность оптимального управления. Получена система интегро-дифференциальных уравнений Риккати и дополнительные условия для нее. Решение этой системы дает возможность выписать формулу для вычисления оптимального управления.

The article discusses the linear-quadratic optimal control problem of axisymmetric vibrations of a circular ring. The urgency of this task arises no doubt, because such problems were mainly investigated in a rectangular Cartesian coordinate system. The author suggestes to use the polar coordinates. Using the method of Lagrange multipliers, the necessary optimality conditions are obtained. The uniqueness of optimal control is proved. We obtain a system of integro-differential Riccati equations and additional conditions for it. The solution of this system makes it possible to write down the formula for calculating the optimal control.