Энтропия термодинамического графа

Abstract

В работе вводится алгоритмическая модель теплообмена на графе – термодинамический граф. Термодинамический граф является аналогом сеток в методе конечных разностей: вычисление температур осуществляется в вершинах графа, а ребра графа указывают на непосредственный теплообмен между вершинами. Рекуррентные соотношения теплообмена в графе выводятся без обращения к дифференциальным уравнениям, а только опираясь на коэффициенты теплопроводности и удельной теплоемкости. Такой подход представляется авторам одновременно более коротким и гибким с точки зрения алгоритмического моделирования термодинамического процесса, чем вывод разностных схем из дифференциальных уравнений. Далее вводится понятие энтропии термодинамического графа. Доказывается не улучшаемая в общем случае оценка длины шага по времени, при котором энтропия не убывает. Как следствие, данная оценка является одновременно точной границей устойчивости модели в общем случае.

We introduce an algorithmic model of heat conduction, the thermodynamic graph. The thermodynamic graph is analogous to meshes in the finite difference method in the sense that the calculation of temperature is carried out at the vertices of the graph, and the edges indicate the direct heat exchange between the vertices. Recurrence relations of heat conduction in graph are derived without using of differential equations and based on the coefficients of thermal conductivity and heat capacity. This approach seems to be more direct and flexible from the point of view of algorithmic modeling of thermodynamic process than the derivation of difference schemes from differential equations. We introduce also the notion of entropy of thermodynamic graph. We find the maximum length of the time step at which the entropy does not decrease in the general case. As a result, this give us the accurate boundary of the model stability.