Линейные и нелинейные волны (элементарное введение в теорию гамильтоновых переменных с приложениями к физике и астрофизике)

Abstract

На примере волн в объеме и на поверхности жидкости вводятся гамильтоновы переменные для сплошных сред, широко используемые в настоящее время в физике плазмы, гидродинамике и теории поля. Рассмотрены регулярные способы введения таких переменных, в том числе в средах с разрывами, с помощью вариационного принципа и канонических преобразований. Метод обратной задачи рассеяния приведен как нетривиальный пример канонического преобразования к переменным “действие-угол”. Приведены примеры линейных и нелинейных неустойчивостей. Настоящая публикация представляет собой первую часть обзора. Вторая часть обзора будет посвящена кинетическим уравнениям, используемым при описании слабой турбулентности, в том числе точным методам получения неравновесных потоковых распределений. Описаны применения кинетического уравнения Смолуховского к рассмотрению процессов слияния галактик и формирования их спектра масс. Рассмотрены также нелокальные распределения и частично когерентные системы.

На прикладі хвиль в об’ємі та на поверхні рідини вводяться гамiльтоновi зміннi для суцільних сeредовищ, широко використовувані в нинішній час у фізиці плазми, гідродинаміці та теорії поля. Розглянуто регулярні засоби введення таких змінних, у тому числі в середовищах з розривами, за допомогою варіаційного принципу та канонiчних перетворень. Засіб зворотного розсiяння наведений як нетривiальний зразок канонічного перетворення до змінних “дія-кут”. Наведено приклади лінійних та нелiнiйних нестiйкостей. Ця публікація є першою частиною огляду. Друга частина огляду буде присвячена кiнетичним рівнянням, що використовуються для опису слабкої турбулентностi, в тому числі точним засобам отримання нерівноважних потокових розподiлiв. Описано застосування кiнетичного рівняння Смолуховського до розгляду процесів злиття галактик і формування їх спектру мас. Розглянуто також нелокальнi розподіли та частково когерентнi системи.

By way of examples of volume waves as well as on the surface of a liquid the Hamiltonian variables for continuous media, widely used in plasma physics, hydrodynamics, and field theory are introduced. The regular way of introducing such variables on different kinds of surfaces including media with breaks are considered with the help of a variation principle and canonical transformations. The method of the inverse scattering problem is given as the nontrivial example of canonical transformation to variable "action-angle". The examples of linear and nonlinear instabilities are considered. The second part of the review will be devoted to the kinetic equations used for the weak turbulence description, including exact methods of obtaining the nonequilibrium flux distributions. The applications of the kinetic Smoluchowsky equation to the galaxy merging processes and their mass spectrum formation are considered. The nonlocal distributions and partially coherent systems are also considered.