Renormalization group domains of the scalar Hamiltonian

Abstract

Using the local potential approximation of the exact renormalization group (RG) equation, we show various domains of values of the parameters of the O(1) -symmetric scalar Hamiltonian. In three dimensions, in addition to the usual critical surface Sc (attraction domain of the Wilson-Fisher fixed point), we explicitly show the existence of a first-order phase transition domain Sf separated from Sc by the tricritical surface St (attraction domain of the Gaussian fixed point). Sf and Sc are two distinct domains of repulsion for the Gaussian fixed point, but Sf is not the basin of attraction of a fixed point. Sf is characterized by an endless renormalized trajectory lying entirely in the domain of negative values of the ϕ⁴ -coupling. This renormalized trajectory also exists in four dimensions making the Gaussian fixed point ultra-violet stable (and the ϕ⁴₄ renormalized field theory asymptotically free but with a wrong sign of the perfect action). We also show that a very retarded classical-to-Ising crossover may exist in three dimensions (in fact below four dimensions). This could be an explanation of the unexpected classical critical behaviour observed in some ionic systems.

Використовуючи наближення локального потенціалу точного рівняння ренормалізаційної групи (РГ), ми показуємо різні області значень параметрів O(1) симетричного скалярного гамільтоніану. У трьох вимірах додатково до звичайної критичної поверхні Sc (область притягання фіксованої точки Вільсона-Фішера), ми явно показуємо існування області фазового переходу першого ряду Sf , відокремленої від Sc трикритичною поверхнею Sf (область притягання гаусової фіксованої точки). Sf і Sc є дві різні області відштовхування для гаусової фіксованої точки, а Sf не є в ділянці притягання фіксованої точки. Sf характеризується нескінченою ренормалізованою траєкторією, яка повністю лежить в області негативних значень констант взаємодії ϕ⁴ . Ця ренормалізована траєкторія також існує в чотирьох вимірах, роблячи гаусову фіксовану точку в ультрафіолетовій області стабільною (і ренормалізовану теорію поля ϕ⁴ асимптотично вільною, але з неправильним знаком ідеальної дії). Ми також показуємо, що дуже запізнений кросовер від класичної до ізінгівської поведінки може існувати у трьох вимірах (фактично нижче чотирьох вимірів). Це може бути поясненням для неочікуваної класичної критичної поведінки, яка спостерігається в деяких іонних системах.