A model of quantum particles performing D -dimensional anharmonic oscillations
around their equilibrium positions which form the d -dimensional
simple cubic lattice Zd is considered. The model undergoes a structural
phase transition when the fluctuations of displacements of particles become
macroscopic. This phenomenon is described by susceptibilities depending
on Matsubara frequencies ωn , n ∈ Z . We prove two theorems
concerning the thermodynamic limits of these susceptibilities. The first theorem
states that the susceptibilities with nonzero ωn remain bounded at all
temperatures, which means that the macroscopic fluctuations in the model
are always non-quantum. The second theorem gives a sufficient condition
for the static susceptibility (i.e. corresponding to ωn = 0 ) to be bounded
at all temperatures. This condition involves the particle mass, the anharmonicity
parameters and the interaction intensity. The physical meaning of
this result is that, for all D and all values of the temperature, strong quantum
effects suppress critical points and the long range order. The proof
is performed in the approach where the susceptibilities are represented as
functional integrals. A brief description of the main features of this approach
is delivered.
Розглядається модель квантових частинок, які виконують D -вимірні коливання довкола їх положень рівноваги, що утворюють d -вимірну просту кубічну ґратку Zd . Ця модель зазнає фазового переходу, коли флуктуації зміщень частинок стають макроскопічними. Таке явище описується сприйнятливостями, залежними від мацубарівських частот ωn , n є Z . Ми доводимо дві теореми, що описують термодинамічні властивості цих сприйнятливостей. Перша теорема стверджує, що сприйнятливості з ненульовими ωn залишаються обмеженими при всіх температурах, а це означає, що макроскопічні флуктуації в даній моделі є завжди неквантові. Друга теорема дає достатню умову на те, щоб і статична сприйнятливість (яка відповідає ωn = 0 ) теж була обмеженою при всіх температурах. Ця умова включає в себе масу частинки, параметри ангармонізму та інтенсивність взаємодії. Фізичний сенс цього результату полягає в тому, що для всіх D і для всіх значень температури сильні квантові ефекти унеможливлюють виникнення критичних точок і далекого порядку. Доведення проводиться в рамках підходу, у якому сприйнятливості представляються за допомогою функціональних інтегралів. Дається короткий опис головних аспектів цього підходу.
