Об оценке меры образа шара для нижних Q-гомеоморфизмов

Abstract

Рассмотрены нижние Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля при p ≥ n. Для таких классов отображений установлена оценка сверху меры образа шара и, как следствие, получен аналог известной леммы Икома–Шварца. Приведенная оценка является далеко идущим обобщением хорошо известного результата М. А. Лаврентьева об оценке площади образа круга при квазиконформных отображениях. Приведены приложения этих результатов к классам Орлича–Соболева W loc^1,φ в R^n, n ≥ 3 при условии типа Кальдерона на функцию φ и, в частности, к классам Соболева Wloc^1,p при p > n − 1. Построены примеры отображений, показывающие точность полученных результатов.

Розглянуто нижнi Q-гомеоморфiзми вiдносно p-модуля при p ≥ n. Для таких класiв вiдобра- жень встановлено оцiнку зверху мiри образу кулi i, як наслiдок, отримано аналог вiдомої леми Iкома–Шварца. Наведена оцiнка є далекосяжним узагальненням добре вiдомого резуль- тату М. О. Лаврентьєва про оцiнку площi образу круга при квазiконформних вiдображен- нях. Наведено застосування цих результатiв до класiв Орлiча–Соболєва W loc^1,φ в R^n, n ≥ 3 за умовою типу Кальдерона на функцiю φ i, зокрема, до класiв Соболєва Wloc^1,p при p > n−1. Побудованi приклади вiдображень, що показують точнiсть отриманих результатiв.

We consider the lower Q-homeomorphisms with respect to p-modulus for p ≥ n. For such classes of mappings, we establish an upper estimate of the measure of the image of balls and, as a consequence, obtain one analog of the known Ikoma–Schwartz lemma. The present estimate is a far-reaching generalization of the well-known Lavrent’ev result on the estimate of the area of the image of a disk under quasiconformal mappings. We give also the corresponding applications of these results to the Orlicz–Sobolev classes W loc^1,φ in R^n, n ≥ 3, under a condition of the Calderon type on φ and, in particular, to the Sobolev classes Wloc^1,p with p > n − 1. The constructed examples of mappings demonstrate a precision of the obtained results.