Напiводнорiдна елiптична задача з додатковими невiдомими функцiями в крайових умовах

Abstract

Дослiджено елiптичну крайову задачу для однорiдного диференцiального рiвняння, яка мiстить додатковi невiдомi функцiї у крайових умовах. Доведено, що оператор, який вiдповiдає цiй задачi, є обмеженим i нетеровим у пiдходящих парах гiльбертових просторiв Соболєва i iзотропних просторiв Хермандера, що утворюють двобiчну уточнену соболєвську шкалу. Для останнiх показниками регулярностi служать довiльнi дiйсне число i додатна функцiя, повiльно змiнна на нескiнченностi за Караматою. Доведено теореми про апрiорну оцiнку узагальнених розв’язкiв задачi та їх регулярнiсть.

Исследована эллиптическая краевая задача для однородного дифференциального уравнения, содержащая дополнительные неизвестные функции в краевых условиях. Доказано, что оператор, соответствующий этой задаче, является ограниченным и нетеровым в подходящих парах гильбертовых пространств Соболева и изотропных пространств Хермандера, которые образуют двустороннюю уточненную соболевскую шкалу. Для последних показателями регулярности служат произвольные вещественное число и положительная функция, медленно меняющаяся на бесконечности по Карамата. Доказаны теоремы об априорной оценке обобщенных решений задачи и их регулярности.

We investigate an elliptic boundary-value problem for a homogeneous differential equation, the problem containing additional unknown functions in the boundary conditions. We prove that the operator corresponding to this problem is bounded and Noetherian in appropriate pairs of inner product Sobolev spaces and H¨ormander spaces that form a two-sided refined Sobolev scale. For the latter spaces, the regularity indices are an arbitrary real number and a positive function that varies slowly at infinity in the sense of Karamata. We prove theorems on a priori estimates of generalized solutions to the problem and their regularity.