Задача Дiрiхле–Неймана для лiнiйних неелiптичних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами

Abstract

В областi, що є декартовим добутком вiдрiзка на багатовимiрний тор, дослiджено крайову задачу з умовами Дiрiхле–Неймана за видiленою змiнною та умовами перiодичностi за iншими координатами для лiнiйних загальних (незалежно вiд типу) рiвнянь iз частинними похiдними високого порядку зi сталими коефiцiєнтами, iзотропних сто- совно порядку диференцiювання за незалежними змiнними. Встановлено умови однозначної розв’язностi задачi та конструктивно побудовано її розв’язок у виглядi ряду за системою ортогональних функцiй. Для оцiнок знизу малих знаменникiв, що виникли при побудовi розв’язку задачi, використано метричний пiдхiд.

В области, являющейся декартовым произведением отрезка на многомерный тор, исследована краевая задача с условиями Дирихле–Неймана по выделенной переменной и условиями периодичности по другим координатам для линейных общих (независимо от типа) уравнений с частными производными высокого порядка с постоянными коэффициентами, изотропных относительно порядка дифференцирования по независимым переменным. Установлены условия однозначной разрешимости задачи и конструктивно построено ее решение в виде ряда по системе ортогональных функций. Для оценок снизу малых знаменателей, возникших при построении решения задачи, использован метрический подход.

In the domain, which is the Cartesian product of a segment and a multidimensional torus, we study the boundary value-problem with Dirichlet-Neumann conditions with respect to the selected variable and conditions of periodicity with respect to other coordinates for general (regardless of type) linear partial differential equations of a high order with constant coefficients, isotropic in the order of differentiation with respect to independent variables. We establish conditions for the unique solvability of the problem and structurally built the solution in the form of a series in a system of orthogonal functions. To estimate the small denominators arising in the construction of a solution to the problem from below, we use the metric approach.