Планиметрия виброравновесий при малых волновых числах

Abstract

Для случая двумерных потенциальных течений проанализированы усредненные во времени геометрические конфигурации (виброравновесия) ограниченного объема идеальной жидкости, находящейся в прямоугольном сосуде, совершающем высокочастотные поступательные вибрации. В исследованиях использованы концепция квазипотенциальной энергии и предположение о малости волновых чисел. Указаны частные точные аналитические решения. Исследование общего случая базируется на прямой численной минимизации функционала квазипотенциальной энергии. Для решения вспомогательной задачи о волновой функции, являющейся ограничением-связью, построена модификация метода Нистрема-Кресса. Теоретически описаны экспериментальные феномены ``сплющивания'' и вибростабилизации свободной поверхности жидкости, а также ``переворота'' (``переориентации'' жидкости, ее локализацию около одной из вертикальных стенок) и ``провала'' (равномерного растекания жидкости между стенками с образованием ``каверны'' в центре), проявляющиеся при горизонтальных вибрациях сосуда. Обсуждаются результаты расчетов виброравновесий для условий земной гравитации (больших чисел Бонда) и полной невесомости (отсутствия массовых сил). Указано на многозначность решения и зависимость виброравновесия от переходных процессов. Подтверждено теоретически, что эффект ``переворота'' более вероятен для малых глубин, в то время как ``провал'' характерен для немалых глубин жидкости. Получены первые теоретические результаты, описывающие ``сплющивание'' и вибростабилизацию висящей капли на вибрирующей пластинке, в том числе и для случая пренебрежимо малого поверхностного натяжения (больших чисел Бонда).

Для випадку двовимірних потенціальних течій проаналізовані осереднені за часом геометричні конфігурації (вівброрівноваги) обмеженого об'єму ідеальної рідини, яка знаходиться в прямокутній посудині, що здійснює високочастотні поступальні вібрації. У дослідженнях використано концепцію квазіпотенціальної енергії й припущення про малість хвильових чисел. Вказано часткові точні аналітичні рішення. Дослідження загального випадку базується на прямій чисельній мінімізації функціонала квазіпотенціальної енергії. Для розв'язку допоміжної задачі про хвильову функцію, яка є обмеженням-зв'язком, побудовано модифікацію методу Ністрема-Креса. Теоретично описано експериментальні феномени ``сплющування'' й вібростабілізації вільної поверхні рідини, а також ``перевороту'' (``переорієнтації'' рідини, її локалізацію біля однієї з вертикальних стінок) і ``провалу'' (рівномірного розтікання рідини між стінками з утворенням ``каверни'' у центрі), які проявляються при горизонтальних вібраціях посудини. Обговорюються результати розрахунків віброрівноваг для умов земної гравітації (великих чисел Бонда) і повної невагомості (відсутності масових сил). Вказано на багатозначність розв'язку й залежність віброрівноваги від перехідних процесів. Підтверджено теоретично, що ефект ``перевороту'' більш ймовірний для малих глибин, у той час як ``провал'' є характерним для немалих глибин рідини. Отримано перші теоретичні результати, що описують ``сплющування'' й вібростабілізацію висячої краплі на вібруючій пластинці, у тому числі і для випадку, коли поверхневим натягом можна знехтувати (великі числа Бонда).

For case of two-dimensional potential flows, time-averaged geometrical configurations (vibroequilibria) of limited volume of ideal liquid in a rectangular vessel, showing high-frequency forwards vibrations, are analysed. A concept of quasipotential energy and supposition of smallness of the wave numbers is used. Particular exact analytical solutions are stated. The study of a general case is based on straight numeral minimization of a functional of quasipotential energy. Auxiliary boundary problem on the wave function, being a limitation-tie, is solved by modified Nystrom-Kress method. Theoretical description is given for experimental phenomena of ``flattening'' and vibrostabilization of free liquid surface, ``overturn'' (``reorientation'' of the liquid, its localization near one of vertical walls) and ``dip'' (even spreading of the liquid between the walls with a ``cavity'' forming in the center), that occur under horizontal vibrations of the vessel. Numerical results for vibroequilibria under conditions of the Earth gravitation (large Bond's numbers) and zero-gravity (lack of mass forces) are discussed. Non-uniqueness of solution and dependence of vibroequilibrium on transitional processes are stated. It is confirmed theoretically that an ``overturn'' is more probable for small depths, while a ``dip'' is typical for non-small depths of the liquid. Preliminary theoretical results, describing the '' flattening'' and vibrostabilization of a drop hanging on vibrating plate are obtained, including the case of negligibly small surface-tension (large Bond's numbers).