Хвильові локалізовані структури в релаксуючих середовищах з флуктуаціями

Abstract

Розглянуто хвильовi розв’язки математичної моделi релаксуючого середовища. При вiдсутностi флуктуацiй параметрiв моделi хвильовi розв’язки описуються нелiнiйною двовимiрною динамiчною системою, структура фазового простору якої встановлена методами якiсного аналiзу. Мета даної роботи врахування зашумлених параметрiв моделi та вивчення впливу флуктуацiй на стацiонарнi та перiодичнi режими динамiчної системи. Зокрема, напрям змiщення бiфуркацiї Андронова–Хопфа стацiонарного розв’язку динамiчної системи оцiнювався за допомогою старшого ляпуновського показника, який обчислювався числовим й аналiтичним способами. Зашумлений граничний цикл вивчався за допомогою функцiї чутливостi, яка визначалась з детермiнованого диференцiального рiвняння числовим методом стрiльби та характеризує дисперсiю траєкторiй поблизу детермiнованого циклу. Показано, що траєкторiї циклу зазнають найбiльшої дисперсiї в околi сiдлової стацiонарної точки.

Рассмотрены волновые решения математической модели релаксирующей среды. В отсутствии флуктуаций параметров среды волновые решения удовлетворяют нелинейной двумерной динамической системе, структура фазового пространства которой изучалась методами качественного анализа. Цель работы учет зашумленных параметров модели и изучение влияния флуктуаций на стационарные и периодические режимы системы. В частности, с помощью старшего ляпуновского показателя, который вычислялся численно и аналитически, оценивалось направление смещения бифуркации Андронова–Хопфа стационарного решения. Для изучения зашумленного предельного цикла привлекалась функция чувствительности, которая определялась из детерминированного диференциального уравнения численным методом стрельбы и связана с дисперсией траекторий в окрестности детерминированного цикла. Показано, что траектория цикла подвергается наибольшей дисперсии в окрестности седловой стационарной точки.

The article deals with the wave solutions of a mathematical model for relaxing media. When the fluctuations of the model parameters are absent, the wave solutions satisfy the nonlinear planar dynamical system, which is studied by means of qualitative analysis methods. The aim of the article is the incorporation of parameters with noise and investigations of the influence of fluctuations on the steady and periodic modes of the dynamical system. In particular, the direction of a displacement of the Andronov-Hopf bifurcation for the steady solutions is estimated with the help of the top Lyapunov exponent, which is derived analytically and numerically. Stochastic limit cycles are considered by means of the sensitivity function. This function is evaluated from a deterministic differential equation by the shooting method and characterizes the dispersion of trajectories in a vicinity of the deterministic limit cycle. It is shown that the trajectories of a stochastic cycle undergo the most dispersion near the saddle fixed point.