Загальна елiптична крайова задача в розширенiй cоболєвськiй шкалi

Abstract

Загальну елiптичну крайову задачу, що задана в обмеженiй евклiдовiй областi з гладкою межею, дослiджено в розширенiй соболєвськiй шкалi. Остання складається з усiх гiльбертових просторiв, iнтерполяцiйних для пар гiльбертових просторiв Соболєва. Доведено, що оператор цiєї задачi є обмеженим i нетеровим у вiдповiдних парах просторiв Хермандера, якi належать розширенiй соболєвськiй шкалi. Встановлено апрiорнi оцiнки розв’язкiв задачi та дослiджено їх регулярнiсть у просторах Хермандера. Знайдено нову достатню умову класичностi узагальненого розв’язку задачi.

Общая эллиптическая краевая задача, заданная в ограниченной евклидовой области с гладкой границей, исследована в расширенной соболевской шкале. Последняя состоит из всех гильбертовых пространств, интерполяционных для пар гильбертовых пространств Соболева. Доказано, что оператор этой задачи является ограниченным и нетеровым в соответствующих парах пространств Хермандера, принадлежащих расширенной соболевской шкале. Установлены априорные оценки решений задачи и исследована их регулярность в пространствах Хермандера. Найдено новое достаточное условие классичности обобщенного решения задачи.

A general elliptic boundary-value problem given in a bounded Euclidean domain with smooth boundary is investigated in the extended Sobolev scale. The latter consists of all Hilbert spaces that are interpolation spaces for pairs of inner product Sobolev spaces. We prove that the operator of the problem is bounded and Fredholm in appropriate pairs of H¨ormander spaces, which belong to the extended Sobolev scale. A priori estimates for the solutions to the problem are established, and their regularity in H¨ormander spaces is investigated. We find a new sufficient condition, under which a generalized solution to the problem is classical.