О принципах сплайн-экстраполяции геофизических данных

Abstract

Возможные приложения сплайновой математики обсуждаются применительно к геофизическим наблюдениям, когда построить физическую динамическую модель либо невозможно, либо слишком сложно, нерационально. В подобных ситуациях простая идея сплайн-экстраполяции оказывается единственной: сетка узлов на заданном сегменте дополняется прогнозируемой точкой, строится “прогностический” сплайн на расширенной сетке, необходимо обеспечить минимум интеграла квадратичного отклонения, зависящего от ординаты добавочной точки как от параметра. Для равномерной сетки структурные единицы алгоритма экстраполяции представляются в виде последовательности разложений по координатам заданных точек, коэффициенты разложений доступны аналитически. Показано, что ордината прогнозируемой точки не зависит от шага сетки, это существенно для оценки ближайшего следующего в серии регулярных измерений, когда принципиальна не величина интервала между измерениями, а его неизменность.

Можливi застосування сплайнової математики обговорюються стосовно до геофiзичних спостережень, коли побудувати фiзичну динамiчну модель або неможливо, або занадто складно, нерацiонально. У подiбних ситуацiях проста iдея сплайн-екстраполяцiї виявляється єдиною: сiтка вузлiв на заданому сегментi доповнюється прогнозованою точкою, будується “прогностичний” сплайн на розширенiй сiтцi, необхiдно забезпечити мiнiмум iнтеграла квадратичного вiдхилення, залежного вiд ординати додаткової точки як вiд параметра. Для рiвномiрної сiтки структурнi одиницi алгоритму екстраполяцiї представляються у виглядi послiдовностi розкладiв за координатами заданих точок, коефiцiєнти розкладань доступнi аналiтично. Показано, що ордината прогнозованої точки не залежить вiд кроку сiтки, це суттєво для оцiнки найближчого наступного в серiї регулярних вимiрювань, коли принциповою є не величина iнтервалу мiж вимiрами, а його незмiннiсть.

Possible applications of spline mathematics applied to geophysical observations, when to build a physical dynamic model is either impossible or too complicated and unpractical, are discussed. In situations like this, the simple idea of spline extrapolation is determined uniquely: the net of knots on a specified segment is supplemented by a potentially predictable point, a “prognostic” spline on the augmented net is built, and it is necessary to ensure a minimum of the integral of the quadratic deviation depending on the add-on point ordinate as a parameter. For a uniform net base, structural units of the extrapolation algorithm are represented in the form of a sequence of expansions in terms of coordinates of the specified points, and the expansion coefficients are available analytically. It is found that the forecasted point ordinate does not depend on the net spacing, which is essential for the evaluation of the nearest next event in a series of regular measurements, when the basic thing is not the interval between measurements, but its constancy.