О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений

Abstract

Исследуется вопрос о приближенном нахождении устойчивых решений некорректных интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования при помощи проекционно-итерационных регуляризирующих схем, основанных на методах А.Н. Тихонова и В.М. Фридмана. Предложенный подход предполагает замену регуляризованного интегрального уравнения некоторой последовательностью более простых аппроксимирующих его конечномерных задач на совокупности измельчающихся сеток. При этом для каждой из «приближенных» задач с помощью некоторой итерационной процедуры строится лишь несколько приближений к решению, последнее из которых с использованием кусочно-линейной интерполяции принимается за начальное приближение в итерационном процессе для следующей «приближенной» задачи. Последовательность линейных интерполянтов построенных приближенных решений объявляется последовательностью приближений к решению исходного интегрального уравнения. Проводится сравнительный анализ вычислительных алгоритмов с использованием различных стратегий регуляризации, демонстрируется их практическая сходимость на примере решения конкретных задач.

Досліджено питання щодо наближеного відшукання стійких розв’язків некоректних інтегральних рівнянь з постійними межами інтегрування за допомогою проекцiйно-iтерацiйних регуляризуючих схем, заснованих на методах А.Н. Тихонова і В.М. Фрідмана. Запропонований підхід передбачає заміну регуляризованого інтегрального рівняння деякою послідовністю більш простих апроксимуючих його скінченновимірних задач на сукупності сіток, що подрібнюються. При цьому для кожної з «наближених» задач за допомогою деякої ітераційної процедури будується лише декілька наближень до розв’язку, останнє з яких за допомогою кусково-лінійної інтерполяції береться за початкове наближення в ітераційному процесі для наступної «наближеної» задачі. Послідовність лінійних інтерполянтів побудованих наближених розв’язків оголошується послідовністю наближень до розв’язку вихідного інтегрального рівняння. Проведено порівняльний аналіз обчислювальних алгоритмів з використанням різних стратегій регуляризації, продемонстровано їх практичну збіжність на прикладі розв’язання конкретних задач.

The problem of approximate finding stable solutions of ill-posed integral equations with constant integration limits is investigated with the use of the projection-iteration regularizing schemes based on Tikhonov’s and Fridman’s methods. The suggested approach assumes a substitution of the regularized integral equation for some sequence of more simple finite-dimensional problems that approximate this equation on the set of shrinking grids. For each approximate problem, only several approximations to the solution are found with applying some iterative procedure and the last of them is taken for the initial approximation in the iterative process for the next approximate problem with the use of the piecewise linear function. The sequence of constructed approximate solutions' linear interpolants is defined as the sequence of approximations to the initial integral equation’s solution. A comparative analysis of computational algorithms using various regularization strategies is carried out, the practical convergence of these algorithms for solving concrete problems is demonstrated.