Принцип отражения в плоских граничных задачах для уравнения Гельмгольца

Abstract

В данной работе рассмотрены возможности использования принципа отражения при построении решений внутренних и внешних граничных задач для уравнения Гельмгольца в плоских областях, границы которых содержат прямолинейные отрезки. Основная идея подхода заключается в том, чтобы пользуясь формулой отражения для решения уравнения Гельмгольца через прямолинейные отрезки границы (при однородных граничных условиях), продолжить искомое решение в такую каноническую область как круг. В этом случае решение граничной задачи выражается через ряды по частным решениям уравнения Гельмгольца в полярных координатах и для определения неизвестных коэффициентов этих рядов возможно получить бесконечную систему линейных алгебраических уравнений. При этом замыкающие уравнения на участках окружности, не являющихся физическими границами исходной области, формулируются исходя из способа отражения искомого решения. Рассмотрены различные примеры граничных задач для уравнения Гельмгольца для прямолинейно-круговой луночки (внутренняя и внешняя задачи). Показано каким образом возможно учесть локальные особенности волнового поля, связанные с угловыми точками рассматриваемой области и смешанным характером граничных условий. Для одной из задач проведены численные расчеты, свидетельствующие об эффективности предложенного подхода.

У даній роботі розглянуті можливості використання принципу відображення при побудові розв'язків внутрішніх і зовнішніх граничних задач для рівняння Гельмгольца у плоских областях, межі яких містять прямолінійні відрізки. Основна ідея підходу полягає у тому, щоб користаючись формулою відображення для розв'язку рівняння Гельмгольца через прямолінійні відрізки межі (при однорідних граничних умовах), продовжити шуканий розв'язок у таку канонічну область як коло. У цьому випадку розв'язок граничної задачі виражається через ряди відносно часткових розв'язків рівняння Гельмгольца у полярних координатах і для визначення невідомих коефіцієнтів цих рядів можливо одержати нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь. При цьому замикаючі рівняння на ділянках кола, які не є фізичними границями вихідної області, формулюються виходячи зі способу відображення шуканого розв'язку. Розглянуто різні приклади граничних задач для рівняння Гельмгольца для прямолінійно-круговий луночки (внутрішня і зовнішня задачі). Показано яким образом можливо врахувати локальні особливості хвильового поля, зв'язані з кутовими точками розглянутої області та змішаним характером граничних умов. Для однієї з задач проведені чисельні розрахунки, які свідчать про ефективність запропонованого підходу.