Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальною енергією для параболічних рівнянь із нелокальними крайовими умовами

Abstract

Розглянуто однопараметричне сімейство початково-крайових задач для одновимірного рівняння теплопровідності з нелокальними крайовими умовами, які містять дійсний параметр. Крайові умови цієї задачі не є посилено регулярними за жодного значення параметру. Система власних функцій оператора другої похідної, підпорядкованого крайовим умовам не утворює базис Ріса в L2(0,1) і не є повною. Для параболічного рівняння з нелокальними крайовими умовами з дійсним параметром розглядається класична задача теорії оптимального керування системами з розподіленими параметрами — керування з мінімальною енергією в спеціальній нормі. В цій роботі вихідну двовимірну задачу з мінімальною енергією замінено двома одновимірними задачами, тобто дано квазіоптимальне наближення розв’язку в задачах із мінімальною енергією для параболічного рівняння з нелокальними крайовими умовами у випадку розподіленого керування зі спеціальним критерієм якості. Застосовуючи метод відокремлення змінних, отримано розв’язок, який представлено у вигляді рядів по біортогональному базису Рісса, які збігаються до неперервних функцій. Проведено порівняльний аналіз оптимального та квазіоптимального керувань.

Рассмотрено однопараметрическое семейство начально-краевых задач для одномерного уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями, содержащими вещественный параметр. Краевые условия данной задачи не являются усиленно регулярными ни при каком значении параметра. Система собственных функций оператора второй производной, подчиненного краевым условиям, не образует базис Рисса в L2(0,1) и не является полной. Для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями с вещественным параметром рассматривается классическая задача теории оптимального управления системами с распределенными параметрами — управление с минимальной энергией в специальной норме. В данной работе исходная двумерная задача с минимальной энергией заменена двумя одномерными задачами, т.е. дано квазиоптимальное приближение решения в задачах с минимальной энергией для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями в случае распределенного управления и специальным критерием качества. Применяя метод разделения переменных, получено решение, которое представлено в виде рядов по биортогональному базису Рисса, которые сходятся к непрерывным функциям. Проведен сравнительный анализ оптимального и квазиоптимального управления.

One-parameter family of initial boundary-value problem for an one-dimensional heat equation with nonlocal boundary value conditions containing a real parameter was considered. Boundary conditions of this task are not strongly regular for any value of the parameter. The system of eigenfunctions of the operator of the second derivative, subjected to the boundary conditions, does not form the basis of Riesz in L2(0,1) and is not complete. Classic problem of optimal control theory with distributed parameters is considered for parabolic equation with nonlocal boundary value conditions – the control minimum energy in the special norm. In this article the initial two-dimensional problem with minimum energy is replaced by two one-dimensional problems, i.e. the quasioptimal approximate solution of the minimum energy problem is given for parabolic equation with nonlocal boundary value conditions in the distributed control case and special quality criterion. Applying the separation of variables method the solution, which is presented in the form of series by bi-orthogonal Riesz basis, which converge to continuous functions, is obtained. A comparative analysis of optimal and quasi-optimal control is carried out.