Щодо точних розв'язків задачі про перенесення імпульсу у неоднорідному гранульованому ланцюжку

Abstract

Знайдено новi точнi розв’язки функцiонально-диференцiального рiвняння, яке описує перенос механiчного збурення в одновимiрному вертикальному гранульованому ланцюжку iз нелiнiйними контактами. Лiнеаризоване у наближеннi слабкої неоднорiдностi рiвняння руху iмпульсу вiдноситься до класу функцiонально-диференцiальних i, як показано в роботi, у всiх внутрiшнiх точках системи iз лiнiйними взаємодiями має точний розв’язок у виглядi цилiндричних функцiй Бесселя першого роду. Показано, що у суцiльних границях рiвняння задовольняє солiтоноподiбний розв’язок. Знайденi класи точних розв’язкiв доповнюють вiдомi результати про динамiку збурень у гранульованих ланцюжках та можуть бути корисними для задач параметризацiї експериментальних даних з вивчення динамiки переносу механiчних збуджень у низьковимiрних гранульованих системах.

В работе, в приближении слабой неоднородности, найдены точные решения дифференциально-разностного уравнения в задаче о передаче импульса в вертикальной гранулированной цепочке с нелинейными контактами, которое выражается с помощью функций Бесселя первого рода. В континуальном приближении для управляющих уравнений также найдено новое точное решение в виде функции солитоноподобного типа. Найденные классы точных решений существенно дополняют известные решения типа дисперсионых мод, а также солитонного типа (последние в случае нелианеризованных уравнений движений). Полученные результаты свидетельствуют о том, что передача импульса в слабонеоднородных гранулированных цепочках, не может быть описана с помощью универсального волнового подхода.

A rigorous solution of the functional differential equation describing the signal propagation through a vertical granular chain with nonlinear contacts has been found in the approximation of a weak inhomogeneouty in the form of a Bessel function of the first order. The solution is valid at all points inside of the system except for boundaries. The appropriate boundary conditions are satisfied by the linear combinations of Bessel functions. The relevant scaling behavior is outlined. In the continuum limit of the governing transport equation, a new rigorous solution in the form of soliton-like modes has been also found. The obtained classes of analytical solutions are a significant supplement either to the dispersive wave modes or to the soliton solution (in case of a nonlinearized form of the transport equation), which has been reported for such a system earlier. The relevant experiments directed to the experimental study of the discovered dynamics are discussed.