Дифференциальные преобразования тождеств как метод получения новых соотношений

Abstract

В работе предложены несколько дифференциальных и интегральных преобразований разных тождеств математического анализа. Метод имеет хорошие математические возможности и выходит за рамки данной статьи. Он может быть применен для доказательства тождеств и неравенств, для получения новых тождеств и соотношений. Так, предложен более простой способ доказательства формулы Эйлера. Кроме того, использование тождеств Лагранжа и формулы Эйлера позволяет получить новую формулу для скалярного и векторного произведений в комплексной форме. Новые тождества, полученные данным методом, представлены в таблицах.

У статті розглянуто диференціальні та інтегральні перетворення різних тотожностей. Показано, як похідні від відомих тотожностей призводять нові тотожності, а також вже існуючі. Метод дозволяє легко отримати нові співвідношення, а також довести відомі тотожності. На думку авторів запропонован більш простий спосіб отримання формули Ейлера, у той час, як при класичному підході вона дістається за допомогою теорії степеневих рядів. Крім того, на підставі тотожності Лагранжа і формули Ейлера вдалось отримати скалярне і векторне множення векторів у комплексній формі і зробити запис для цього випадка формули Муавра. У своєй більшості тригонометричні тотожності мають властивість повернення до початкового співвідношення після двох операцій диференціювання. Метод має широкі можливості, які виходять за межі цієї статті. Він також може бути корисним для доказу тотожностей та нерівностей, для отримання нових тотожностей, для розрахунку інтегралів.

The purpose of the paper is the further development of the well-known in mathematics method for transformation of identities. Some differential and integral transformations of various identities of the mathematical analysis are proposed in the paper. The method has good mathematical possibilities and is wider than this paper. It can be applied for proving identities and inequalities and obtaining new identities. So, a simple proof of the Euler’s formula is offered. Besides, we have got representation of the scalar and vector products of in a complex form that allows applying the Lagrange’s identity and the Euler's formula. Most of new identities obtained by this method are presented in the tables.