Признак сравнения с параметром в теории числовых рядов

Abstract

В работе предложены две формы записи признака сравнения в предельной форме для оценки сходимости числовых рядов и несобственных интегралов. Показано, что обобщенно гармонический ряд имеет намного большие возможности, чем это было принято. В частности, доказано, что обобщенно гармонический ряд может быть использован в качестве эталонного для получения признаков Даламбера и Коши. Признак с параметром позволяет широко использовать правило Лопиталя для оценки сходимости рядов.

У роботі запропоновано дві форми ознаки порівняння в граничній формі для оцінки збіжності числових рядів і невластивих інтегралів. Доведено, що гармонічний ряд загального вигляду має значно більше можливостей, ніж це прийнято в офіційній літературі. Наприклад, використання цієї ознаки дозволяє сформулювати підсилену необхідну ознаку збіжності числових рядів і може бути застосовано до отримання ознак Даламбера і Коші. Запис ознаки з параметром дозволяє ефективно використовувати правило Лопиталя, щодо оцінки збіжності рядів.

In the paper, two forms of limiting comparison tests for estimation of convergence of the number series and improper integrals are proposed. It is shown that the Riemann zeta-function allows to formulate the new necessary test of convergence of the series to get such well-known tests as Cauchy’s Root Test and d’Alembert’s Ratio Test. The new test with a parameter allows to use l’Hopital’s rule more effectively.