О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле

Abstract

В работе рассмотрен вопрос о разложении функции тока вблизи критической точки в ряд по координатам, адаптивным к поверхности тела, с точностью до членов второго порядка. Данный вопрос представляет практический интерес при решении обратных краевых задач гидродинамики решеток профилей. На основе интегральной формулы Пуассона показано, что в случае плоского безвихревого течения идеальной несжимаемой жидкости справедливо следующее утверждение: если критическая точка расположена на прямолинейном участке поверхности обтекаемого тела, и в ней пересекаются только две линии тока, одна из которых совпадает с поверхностью тела, то значение смешанной производной второго порядка по прямоугольным декартовым координатам в критической точке отлично от нуля. С использованием предложенной модификации полярной системы координат показана справедливость приведенного выше утверждения в случае, когда участок поверхности обтекаемого тела, на котором расположена критическая точка, представляет собой дугу окружности.

У роботі розглянуто питання про розкладання функції току поблизу критичної точки в ряд по координатах, адаптивних до поверхні тіла, з точністю до членів другого порядку. Дане питання становить практичний інтерес при розв'язанні зворотних крайових задач гідродинаміки решіток профілів. На основі інтегральної формули Пуассона показано, що у випадку плоскої безвихрової течії ідеальної нестисливої рідини справедливо наступне твердження: якщо критична точка розташована на прямолінійній ділянці поверхні обтічного тіла, і в ній перетинаються тільки дві лінії току, одна з яких збігається з поверхнею тіла, то значення змішаної похідної другого порядку по прямокутних декартових координатах у критичній точці відмінно від нуля. З використанням запропонованої модифікації полярної системи координат показана справедливість наведеного вище твердження у випадку, коли ділянка поверхні обтічного тіла, на якому розташована критична точка, являє собою дугу окружності.

The work deals with the problem on expansion of the stream function in the vicinity of a critical point in term of coordinates, which are adaptive for the body surface, to the second order terms. This problem is of practical interest to solve inverse boundary problems of the hydrodynamics of airfoils arranged in cascade. Based on the Poisson integral formula, it is shown that in case of a plane vortex-free flow of an ideal incompressible fluid it is correctly reasoned: if a critical point is located on a straight section of the streamlined body surface, and with only two streamlines at this point, one of which coincides with the body surface, the value of the mixed second derivative with respect to rectangular Cartesian coordinates at a critical point differs from zero. Using the proposed modification of the system at polar coordinates, the validity of above statement is demonstrated in case when the section of the streamlined body surface, on which a critical point is located, represents a segment of a circle.