О прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям распределенным на системе поверхностей

Abstract

Рассматриваются системы, описываемые начально-краевыми задачами для параболических уравнений второго порядка в частных производных. По наблюдениям на конечном временном интервале их решений на конечной системе поверхностей доказаны теоремы об общем виде минимаксных прогнозных оценок функционалов от их решений. Предполагается, что правые части уравнений, граничные и начальные условия, а также погрешности измерений точно не известны, а известны лишь множества, которым они принадлежат. Установлено, что нахождение минимаксных прогнозных оценок сводится к решению некоторых систем интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с условиями сопряжения на упомянутых выше поверхностях.

Розглядаються системи, якi описуються початково-крайовими задачами для параболiчних рiвнянь другого порядку в частинних похiдних. За спостереженнями на скiнченному часовому iнтервалi їх розв’язкiв на скiнченнiй системi поверхонь доведенi теореми про загальний вигляд мiнiмаксних прогнозних оцiнок функцiоналiв вiд цих розв’язкiв. При цьому робиться припущення, що правi частини рiвнянь, граничнi i початковi умови, а також похибки вимiрiв точно не вiдомi, а вiдомi лише множини, яким вони належать. Встановлено, що знаходження мiнiмаксних прогнозних оцiнок зводиться до розв’язання деяких систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь у частинних похiдних за умов спряження на згаданих вище поверхнях.

Systems described by initial-boundary problems for parabolic equations of the second order with partial derivatives are considered. Based on observations of the solutions to these problems distributed in a finite time interval over a system of surfaces, minimax prediction estimates of functionals from the solutions are found. It is assumed that the right hand sides of the equations, boundary and initial conditions and also errors of measurements are not determined exactly: only the sets to which they belong are known. It is established that the determination of these estimates is reduced to solving some systems of integro-differential equations with partial derivatives and transmission conditions on the surfaces.