Число ізоморфізмів еліптичної кривої під час трансформацій канонічної форми рівняння

Abstract

Представлено результати аналізу аналітичних виразів трансформації несуперсингулярних еліптичних кривих у канонічній формі для криптографічних цілей. Отримано нові результати оцінки верхньої границі числа ізоморфних трансформацій еліптичної кривої в канонічній формі над кінцевим полем Галуа. Так, для поля характеристики р верхня межа числа ізоморфізмів еліптичної кривої при трансформаціях із канонічної в канонічну форму зростає пропорційно р. Для трансформації еліптичної кривої над полем характеристики р із канонічної в нормальну форму верхня границя числа ізоморфізмів зростає пропорційно р4. Використання повної множини трансформацій базової еліптичної кривої дозволяє збільшити потужність простору можливих параметрів криптосистем на еліптичних кривих, а також використовувати їх в якості додаткового джерела ентропії. Застосування отриманих результатів для криптографічних генераторів випадкових чисел може дозволити скоротити довжину модуля поля Галуа.

Представлены результаты анализа аналитических выражений трансформации несуперсингулярных эллиптических кривых в канонической форме для криптографических целей. Получены новые результаты оценки верхней границы числа изоморфных трансформаций эллиптической кривой кривых в канонической форме над конечным полем Галуа. Так, для поля характеристики р верхняя граница числа изоморфизмов эллиптической кривой при трансформациях из канонической в каноническую форму растет пропорционально р. Для трансформаций эллиптической кривой над полем характеристики р из канонической в нормальную форму верхняя граница числа изоморфизмов растет пропорционально р4. Использование полного множества трансформаций базовой эллиптической кривой позволяет значительно увеличить мощность пространства возможных параметров криптосистем на эллиптических кривых, а также использовать их в качестве дополнительного источника энтропии. Применение полученных результатов для криптографических генераторов случайных чисел может позволить сократить длину модуля поля Галуа.

The results of analyze of analytic expressions for transformation of nonsupersingular elliptic curves in the canonical form for cryptographic purposes are shown. New results of the estimate of an upper bound estimate of the number of isomorphic transformations of elliptic curve of the curves in the canonical form over finite Galois field were obtained. For a field with characteristic p from canonical to normal form, an upper bound of the number of isomorphisms increases proportionally to p4. The using of full set of base elliptic curve transformations gives possibility to increase cardinality of set parameters of cryptosystems on elliptic curves and also use it as additional entropy source. Implementattion of these results in cryptographic random bit generators can allow to cut size of Galois field module.