Канонический вид билинейной формы на паре пространств, находящихся в отношении двойственности

Abstract

Изучаются линейные пространства, находящиеся в двойственности: рассмотрены билинейные функционалы на парах двойственных пространств, удовлетворяющие некоторому условию невырожденности. Теория двойственности проясняет определённые свойства двухсторонней симметрии линейных пространств достаточно сложные для наглядного представления, однако абсолютно фундаментальные. В частности, дуализм «волна-частица» в квантовой физике находит адекватное математическое истолкование именно на языке линейной двойственности линейных пространств. Поэтому все результаты математической теории двойственности являются полезными для понимания природы конкретных физических явлений. Теория квантованных полей в квантовой теории поля стала естественным развитием принципа корпускулярно-волнового дуализма. Доказана теорема про приведение билинейного функционала на паре пространств, находящихся в двойственности, к каноническому виду. Найден способ построения канонического базиса. Приведены аналоги теоремы Рисса для линейного и билинейного функционалов.

Вивчаються лінійні простори, що знаходяться у відношенні двоїстості: розглянуто білінійні функціонали на парах двоїстих просторів, які задовольняють деяку умову невиродженості. Теорія двоїстості з’ясовує певні властивості двосторонньої симетрії лінійних просторів досить складні для наглядного представлення, але абсолютно фундаментальні. Зокрема дуалізм "хвиля – частка" у квантовій фізиці знаходить адекватне математичне тлумачення саме на мові лінійної двоїстості лінійних просторів. Тому всі результати математичної теорії двоїстості є корисними для розуміння конкретних фізичних явищ. Теорія квантованих полів у квантовій теорії поля стала природнім розвитком принципу корпускулярно-хвильового дуалізму. Доведено теорему про приведення білінійної форми на парі просторів, що знаходяться у відношенні двоїстості, до канонічного виду. Знайдено спосіб побудови канонічного базису. Наведено аналоги теореми Риса для лінійного та білінійного функціоналів.

The linear spaces, which are in relation of duality: the bilinear functionals on pairs of dual spaces, which satisfy a certain condition of nondegeneracy, are studied. Duality theory clarifies certain properties of bilateral symmetry of linear spaces quite difficult to visualize, but absolutely fundamental. In particular dualism "wave – particle" in quantum physics finds adequate mathematical interpretation in the language of linear duality of linear spaces. Therefore, all the results of the mathematical theory of duality are useful for understanding the specific physical phenomena. The theory of quantized fields in quantum field theory was a natural development of the principle of corpuscular-wave dualism. A theorem on bringing a bilinear form on a pair of spaces which are in duality relation to the canonical form is proved. The method of constructing the canonical basis is found. The analogs of the theorem Feature for linear and bilinear functionals are presented.