Потенціальні закони збереження лінійних еволюційних рівнянь з одним потенціалом

Abstract

Доведено, що кожен найпростіший потенціальний закон збереження (тобто закон збереження, що включає один потенціал) будь-якого (1+1)-вимірного лінійного еволюційного рівняння парного порядку індуковано локальним законом збереження цього рівняння. Це твердження також справедливе для лінійних найпростіших потенціальних законів збереження (1+1)-вимірних лінійних еволюційних рівнянь непарного порядку, пов'язаних з лінійними потенціальними системами. Запропоновано ефективний критерій перевірки, коли квадратичний закон збереження найпростішої лінійної системи є чисто потенціальним законом збереження (1+1)-вимірного лінійного еволюційного рівняння непарного порядку.

Доказано, что каждый простейший потенциальный закон сохранения (т.е. закон сохранения, включающий один потенциал) любого (1+1)-мерного эволюционного уравнения четного порядка, индуцирован локальным законом сохранения этого уравнения. Это утверждение также справедливо для линейных простейших потенциальных законов сохранения (1+1)-мерных эволюционных уравнений нечетного порядка, связанных с линейными потенциальными системами. Предложен эффективный критерий проверки, когда квадратичный закон сохранения является чисто потенциальным законом сохранения (1+1)-мерного эволюционного уравнения нечетного порядка.

It is proved that every simplest potential conservation law (i.e., a conservation law involving a single potential) of any (1+1)-dimensional linear evolution equation of even order is induced by a local conservation law of the same equation. This claim is true also for linear simplest potential conservation laws of (1+1)-dimensional linear evolution equations of odd order, which are related to linear potential systems. We also derive an effective criterion for checking whether a quadratic conservation law of a simplest linear potential system is a purely potential conservation law of a (1+1)-dimensional linear evolution equation of odd order.