Умови додатної визначеності збурення абстрактного аналога оператора третьої крайової задачі та відповідні варіаційні задачі

Abstract

У роботі роль вихідного об'єкта відіграє додатно визначений оператор L0, що діє у гільбертовому просторі H. Основний об'єкт дослідження — оператор L˜B — інтерпретується як збурення деякого власного розширення оператора L0. Із застосуванням методів теорії розширень встановлено критерії максимальної акретивності та максимальної невід'ємності оператора L˜B. У випадку, коли цей оператор є додатно визначеним, побудовано його енергетичний простір і доведено розв'язність відповідної варіаційної задачі. Більше того, розглядається ситуація, коли L0 є мінімальним оператором, породженим у просторі нескінченновимірних вектор-функцій диференціальним виразом Штурма–Ліувілля.

В работе роль исходного объекта играет положительно определенный оператор L0, действующий в гильбертовом пространстве H. Основной объект исследования — оператор L˜B — интерпретируется как возмущение некоторого собственного расширения оператора L0. С применением методов теории расширений установлены критерии максимальной аккретивности и максимальной неотрицательности оператора L˜B. В случае, когда этот оператор является положительно определенным, построено его энергетическое пространство и доказана разрешимость соответствующей вариационной задачи. Более того, рассматривается ситуация, когда L0 является минимальным оператором, порожденным в пространстве бесконечномерных вектор-функций дифференциальным выражением Штурма–Лиувилля.

The role of initial object is played by the positive definite operator L0 acting in a Hilbert space H. The main object of the investigation — operator L˜B — is interpreted as a perturbation of some proper extension of L0. Using methods of the extension theory, the criteria of maximal accretivity and maximal nonnegativity for L˜B are established. In the case where L˜B is a positive definite operator, its energetic space is constructed, and the solvability of the corresponding variational problem is proved. Moreover, the situation when L0 is a minimal differential operator generated in the space of infinite-dimensional vector-functions by the Sturm–Liouville differential expression is considered.