Многозначные решения общей задачи теории относительного движения жидкости

Abstract

Исходная общая задача теории относительного движения жидкости в виде уравнения Лапласа с граничными и начальными условиями переформулирована как начально-краевая задача для системы двух уравнений, состоящей из уравнения Лагранжа-Коши и уравнения Лапласа. Установлена гиперболичность уравнения Лагранжа-Коши для квазипотенциала относительной скорости жидкости. Показано, что свободная поверхность жидкости является характеристикой этой формы уравнения Лагранжа-Коши. Доказана возможность существования многозначных решений рассматриваемой задачи и приведен пример такого решения (задача о "летящем цилиндре''). Сформулированы условия совместности данных Коши на свободной поверхности жидкости как на характеристике.

Вихiдну загальну задачу теорiї вiдносного руху рiдини у виглядi рiвняння Лапласа з граничними та початковими умовами переформульовано як початково-крайову задачу для системи двох рiвнянь, що складається з рiвняння Лагранжа-Кошi та рiвняння Лапласа. Встановлено гiперболiчнiсть рiвняння Лагранжа-Кошi для квазiпотенцiала вiдносної швидкостi рiдини. Показано, що вiльна поверхня є характеристикою цiєї форми рiвняння Лагранжа-Кошi. Доведено можливiсть iснування багатозначних розв'язкiв задачi, що розглядається, та наведено приклад такого розв'язку (задача про "лiтаючий цилiндр''). Сформульовано умови сумiсностi даних Кошi на вiльнiй поверхнi рiдини як на характеристицi.

The input general problem of the theory of relative fluid motion for Laplace equation with initial and boundary conditions is reformulated as an initial-boundary value problem for the system of two equations consisting of Lagrange - Cauchy equation and Laplace equation. It is established that Lagrange - Cauchy equation for quasipotential of relative fluid motion is hyperbolic. It is shown that the free surface of a fluid is the characteristic of this form of Lagrange - Cauchy equation. The possibility of existence of many-valued solutions of a considered problem is proved and the example of such solution is given (the problem on "the flying cylinder''). Conditions of compatibility of Cauchy data on a liquid free surface considered as the characteristic are formulated.